考研高数——反常积分敛散性的判别的两个重要结论

对于反常积分敛散性的判别，我们需要掌握两个重要结论，并能熟练地进行无穷小、无穷大比阶。¹

注意到：

$\int \frac{1}{x^p} \mathrm{d}x = \frac{1}{(p-1)x^{p-1}} = \frac{1}{p-1} \cdot e^{(1-p)\ln x}$

有：

（1）无穷区间的反常积分 $\int_1^\infty (1/{x^p}) \mathrm{d}x$：在 $p \gt 1$ 时收敛，在 $p \leqslant 1$ 时发散。

• $\ln x 在 \left(1, \infty \right)$ 上恒正，
  • $\left( 1 - p \right) \lt 0$ 时， $\lim_{x \to \infty} e^{(1-p)\ln x} = 0$， 故收敛；
  • $p = 1$ 时， $\frac{1}{p-1}$ 不存在，故发散；
  • $\left( 1 - p \right) \gt 0$ 时， $\lim_{x \to \infty} e^{(1-p)\ln x} = \infty$， 故发散。

（2）无界函数的反常积分 $\int_0^1 (1/{x^p}) \mathrm{d}x$：在 $p \lt 1$ 时收敛，在 $p \geqslant 1$ 时发散。

• $\ln x 在 \left(0, 1 \right)$ 上恒负，
  • $\left( 1 - p \right) \gt 0$ 时， $\lim_{x \to 0} e^{(1-p)\ln x} = e^{-\infty} = 0$， 故收敛；
  • $p = 1$ 时， $\frac{1}{p-1}$ 不存在，故发散；
  • $\left( 1 - p \right) \lt 0$ 时， $\lim_{x \to \infty} e^{(1-p)\ln x} = e^{+\infty}$，故发散。

LaText 公式²

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1. 《高数18讲P155》 ↩︎

2. LaText 语法参考来自StackExchange ↩︎