第20章 反常积分：基本概念

第20章 反常积分：基本概念

主要内容:

• 反常积分、收敛和发散的定义
• 关于没有边界区域的反常积分
• 关于比较判别法、极限比较判别法、p判别法和绝对收敛判别法的理论基础

20.1 收敛和发散

考虑积分

$$\int_a^bf(x)dx$$
当函数 $f$在区间 $[a,b]$内有一条垂直渐近线：函数在渐近线附近变得很大，且没有界限。上述积分就变成的反常积分。

即使函数是有界的，也会出现一种不同类型的无界。即闭区间$[a,b]$变成一个无界区间，如：$[-\infty,3]$.

综上：如果出现以下情况，积分$\int_a^bf(x)dx$就是反常积分：

（1）函数$f$在闭区间内是无界的；

（2）闭区间本身是无界的；

如果函数$f(x)$接近于$x=c$时是无界的，就称该函数在$x=c$点有一个破裂点。

20.1.1 收敛和发散

如果仅仅在$x$接近于$a$的时候该函数$f(x)$是无界的，则定义：

$$\int_a^bf(x)dx=\lim_{\sigma->0^+} \int_{a+\sigma}^bf(x)dx$$
该极限存在或不存在，我们就说该反常积分收敛或发散。

一个反常积分在有界区间的收敛和发散，仅仅由它的被积函数在非常接近破裂点时的走势决定。

20.2 关于无穷区间的积分

定义：

$$\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{N->\infty } \int_{a}^Nf(x)dx$$
假设该极限存在，则反常积分收敛，否则发散。

一个反常积分在无界区间的收敛和发散，仅仅由它的被积函数在自变量接近于无穷大时的走势决定。

20.3 比较判别法

用一个函数的反常积分的结果，判别另一个函数的反常积分。

20.4 极限比较判别法

基本思想：假设两个函数在破裂点附近的表现非常接近（再没有其它破裂点），那么，两个函数在破裂点上区间的反常积分同时收敛或发散。

20.4.1 函数互为渐近线

定义：当$x->a$时，$f(x)~g(x)$同$\lim_{x->a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$有同样的意义。即当$x->a$时，两个函数渐进等价。

极限比较判别法可以转化为比较判别法。

20.5 p判别法

p判别法实质上是比较判别法和极限比较判别法的一个特例：找一个常见的简单函数形式$\frac{1}{x^p}$,根据p的值，判定$x$的幂在破裂点区间上反常积分的收敛或发散性。

20.6 绝对收敛判别法

类似于夹逼定理，函数的绝对值在积分区间收敛，相当于极限的上界和下界收敛。

证明技巧：设$g(x)=|f(x)|+f(x)$,可知，但$f(x)<0$时，$g(x)=0$，当$f(x)>0$时，$g(x)=2f(x)$。因此：$0\le \int_a^bg(x)dx\le2\int_a^b|f(x)|dx$。由比较判别法，可知，如果$f(x)$绝对收敛，则$g(x)$绝对收敛。

由于$f(x) = g(x)-|f(x)|$,有$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bg(x)dx-\int_a^b|f(x)|dx$，当等式右侧两项收敛时，左侧也收敛。