2021考研数学 高等数学第四章 不定积分

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1. 背景

前段时间复习完了高数第四章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

1. 不定积分的概念与性质

1.1. 不定积分

• 定义

$f(x)$的原函数的全体成为 $f(x)$的不定积分，记为 $\int f(x)dx$.

如果 $F(x)$为 $f(x)$的一个原函数，则有

$\int {f(x)}dx = F(x) + C \tag{4.1}$

其中 $C$为任意常数

1.2. 原函数存在定理

• 证明存在的定理

若 $f(x)$在区间 $I$上连续，则 $f(x)$在区间 $I$上一定存在原函数

• 证明不存在的定理

若 $f(x)$在区间 $I$上有第一类间断点，则 $f(x)$在区间 $I$上没有原函数

1.3. 不定积分的性质

$(\int {f(x)}dx)' = f(x), d (\int {f(x)}dx) = f(x)dx \tag{4.2}$

$\int {f'(x)}dx = f(x) + C, \int d{f(x)}dx = f(x) + C \tag{4.3}$

$\int {f(x) \pm g(x)}dx = \int {f(x)}dx \pm \int {g(x)}dx \tag{4.4}$

$\int k{f(x)}dx = k \int {f(x)}dx, (k = C) \tag{4.5}$

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2. 不定积分基本公式

$\int {0}dx = C \tag{4.6}$

$\int {x^a}dx = \frac{1}{a+1}x^{\alpha + 1} + C, (\alpha \ne -1) \tag{4.7}$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C \tag{4.8}$

$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, (a > 0, a \ne 1) \tag{4.9}$

$\int e^x dx = e^x + C \tag{4.10}$

$\int \sin x dx = - \cos(x) + C \tag{4.11}$

$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C \tag{4.12}$

$\int \sec^2 x dx = \tan(x) + C \tag{4.13}$

$\int \csc^2 x dx = -\ctg x + C \tag{4.14}$

$\int \sec x \tan x dx = \sec x + C \tag{4.15}$

$\int \csc x \ctg x dx = - \csc x + C \tag{4.16}$

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$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx = \arcsin x + C \tag{4.17}$

• 证明4.17： 凑微分法

${ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx &= \int \dfrac{dx}{a \sqrt{1 - (\dfrac{x}{a}})^2} dx \\ &= \int \frac{d (\dfrac{x}{a})}{\sqrt{1 - (\dfrac{x}{a}})^2} dx \\ &= \arcsin x + C \end{aligned} }$

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$\int \frac{1}{{1 + x^2}}dx = \arctan x + C \tag{4.18}$

$\int \frac{1}{{a^2 + x^2}}dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \tag{4.19}$

$\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln|\frac{x-a}{x+a}| + C \tag{4.20}$

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$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln (x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C \tag{4.21}$

• 证明4.21： 第二类换元法，令 $x = a\tan t$

${ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx &= \int \frac{a\sec^2 t}{a \sec t} dt = \int \sec t dt \\ &= \ln |\sec t + \tan t| + C \\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 + a^2}| - \ln a+ C\\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C \end{aligned} }$

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$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C \tag{4.22}$

• 证明4.22： 第二类换元法，令 $x = a\sec t$

${ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx &= \int \frac{a\sec t \tan t}{a \tan t} dt = \int \sec t dt \\ &= \ln |\sec t + \tan t| + C \\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| - \ln a+ C\\ &= \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C \end{aligned} }$

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$\int {\sec x} dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \tag{4.23}$

• 证明4.23： 凑微分法

${ \begin{aligned} \int {\sec x} dx &= \int \frac{\sec x[\sec x + \tan x]}{\sec x + \tan x} dx &=& \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} dx \\ &= \int \frac{d(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x}\\ &= \ln |\sec x + \tan x| + C \end{aligned} }$

$\int {\csc x} dx = -\ln |\csc x + \ctg x| + C \tag{4.24}$

• 证明4.24： 凑微分法

${ \begin{aligned} \int {\csc x} dx &= \int \frac{\csc x[\csc x + \ctg x]}{\csc x + \ctg x} dx &=& \int \frac{\csc^2 x + \csc x \ctg x}{\csc x + \ctg x} dx \\ &= \int \frac{d(\csc x + \ctg x)}{\csc x + \ctg x}\\ &= \ln |\csc x + \ctg x| + C \end{aligned} }$

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3. 三种主要积分法

3.1. 第一换元积分法

• 定理 设 $\int f(u) du = F(u) + C$, $u = \varphi(x)$存在连续导数，则

$\int f[\varphi(x)]\varphi '(x) dx = \int f[\varphi(x)] d\varphi x = F(\varphi(x)) + C \tag{4.25}$

3.2. 第二换元积分法

• 定理 设 $x = \varphi (x)$是单调的、可导的函数，并且 $\varphi'(t) \ne 0$，又

$\int f[\varphi(t)]\varphi '(t) dt = F(\varphi(t)) + C$

则

$\int {f(x)} dx = \int f[\varphi(t)]\varphi '(t) dt = F(\varphi(t)) + C = F[\varphi^{-1}(x)] + C \tag{4.26}$

注：式中对 $\varphi (t)$求导的部分容易被遗漏

• 常用的三种变量代换

1. 被积函数含有 $\sqrt{a^2 - x^2}$，令 $x = a\sin x$（或 $a \cos x$).

2. 被积函数含有 $\sqrt{x^2 + a^2}$，令 $x = a\tan x$.

3. 被积函数含有 $\sqrt{x^2 - a^2}$，令 $x = a\sec x$.

3.3. 分部积分法

• 分部积分公式

$\int u dv = uv - \int v du \tag{4.27}$

• 分部积分法中 $u,v$的选取

1. 把多项式以外的函数凑进微分号，因为对多项式求导若干次后能够将其化为常数项

$\int p_n(x)e^{\alpha x} dx, \int p_n(x)\sin \alpha x dx, \int p_n(x)\cos \alpha x dx$

2. 把指数函数或三角函数凑进微分号都可以，但把指数凑进去更简单

$\int e^{\alpha x}\sin \beta x dx, \int e^{\alpha x}\cos \beta x$

3. 把多项式凑进微分号，多项式以外的函数方便求导，不方便积分

$\int p_n(x)\ln x dx, \int p_n(x)\arctan x dx, \int p_n(x)\arcsin x dx$

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4. 三类常见可积函数积分

4.1. 有理函数

• 有理函数积分 $\int R(x) dx$

1. 一般方法（部分分式法）
2. 特殊方法（加项减项拆或凑微分降幂）

4.2. 三角有理式积分

• 三角有理式积分 $\int R(\sin x, \cos x) dx$

1. 一般方法（万能代换）令 $\tan \dfrac{x}{2} = t$.

$\int R(\sin x, \cos x) dx = \int R(\frac{2t}{1 + t^2}, \frac{1 - t^2}{1 + t^2}) dt \tag{4.28}$

2. 特殊方法（三角变形，换元，分解）

• 几种常用的换元法

1. 若 $R(- \sin x, \cos x) = - R(\sin x, \cos x)$，则令 $u = \cos x$，或凑 $d\cos x$.
2. 若 $R(\sin x, - \cos x) = - R(\sin x, \cos x)$，则令 $u = \sin x$，或凑 $d\sin x$.
3. 若 $R(- \sin x, - \cos x) = R(\sin x, \cos x)$，则令 $u = \tan x$，或凑 $d\tan x$.

4.3. 简单无理函数积分

• 简单无理函数积分 $
  \int R(x, \sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}}) dx$

令 $\sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}} = t$，将其转化为有理函数积分进行计算

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5. 总结

• 两个概念

  • 原函数
  • 不定积分

• 三种方法

  • 第一类换元法
  • 第二类换元法
  • 分部积分法

• 三种形式

  • 有理函数
  • 三角有理式
  • 简单无理函数