2021考研数学 高数第六章 定积分的应用

1. 背景

前段时间复习完了高数第六章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 几何应用

2.1. 平面图形的面积

可通过二重积分 $S = \iint_D 1 d \sigma$ 进行计算。

1. 若平面域 $D$ 由曲线 $y = f(x), y=g(x), (f(x) \ge g(x)), x = a, x = b, )a < b)$ 所围成，则平面域 $D$ 的面积为

$S = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] dx$

2. 若平面域 $D$ 由曲线 $\rho = \rho(\theta), \theta = \alpha, \theta = \beta(\alpha < \beta)$ 所围成，则其面积为

$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2(\theta) d\theta$

2.2. 旋转体体积

可通过二重积分 $V = 2\pi \iint_D y d \sigma$ 和 $V = 2\pi \iint_D x d \sigma$ 进行计算。

若区域 $D$ 由 $y = f(x), (f(x) \ge 0)$ 和直线 $x = a, x = b, (0 \le a \le b)$ 及 $x$ 轴所围成的，则

1. 区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体体积为

$V_x = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx$

2. 区域 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转体体积为

$V_y = 2\pi \int_{a}^{b} xf(x) dx$

3. 曲线弧长

• $C: y = y(x), a \le x \le b$

$s = \int_{a}^{b} \sqrt[]{1 + y'^2} dx$

• $C: {\left\{ \begin{aligned} x = x(t) &\\ y = y(t) & \\ \end{aligned}\right. }, \alpha \le t \le \beta$

$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt[]{x'^2 + y'^2} dt$

• $C: \rho = \rho(\theta), \alpha \le \theta \le \beta$

$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt[]{\rho^2 + \rho'^2} d\theta$

2.3. 旋转体侧面积

曲线 $y = f(x), (f(x) \ge 0)$ 和 直线 $x = a, x = b, (0 \le a \le b)$ 及 $x$ 轴所围成区域绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的侧面积为

$S = 2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt[]{1 + f'^2(x)} dx$

3. 物理应用

1. 压力
2. 变力做功
3. 引力