洛谷P1990 覆盖墙壁：怎样解决递推问题？

题目见

P1990

递推问题的关键是要找到前一次和后一次之间的关系。
只要找到这个关系（或者说，列出表达式），那么问题已经得到了解决。

这个题目怎样找到前一次呢？

• 首先 确定一列i。集中目光在这一列上。

• 由于有两种不同的砖，我们要确定上一块砖的类型

  • 条形砖
  • L形砖

• 条形砖可以有不同的方向：

  • 条形砖可以竖着放：那么减掉一块砖，对应的情况就是i-1列的完全情况。
  • 条形砖可以横着放：只能放两块才能对应到上一个完全情况即i-2

• L形砖：

  • 如果将底边对向大端，那么会出现一个缺格。这个缺格将导致无法弥补的缺陷。即先前的完全情况加上这一块砖后无论如何不能填满。

  如图绿色为完全区域，红色为本次操作的砖块。白色为缺陷。
  

  • 所以L形砖只能将底边朝向完全区。但这很快导致了新的问题。需要维护一种新的完全区域。即半满型。图示表现了我们的需求：

现在我们就来推导这个递推关系:
我们在先前的全满的基础上可以加L形砖，与这个半满的尾端两相对应补成完整的一个2*3矩形，即可得到一个这个半满数组的一个来源f(i-1)*1。但还有加条形砖的情况，且只能如图放置：

我们又找到一个来源，即g(i-1)*1

• 所以我们又得出了关于新数组的递推式：

g(i) = g(i-1) + f(i-1)

简单地初始化如下：

#define N 1000000 + 10
int f[N] = {1, 1}, g[N] = {0, 1};

主函数如下：

int main()
{
    int n, mod = 10000;
    cin >> n;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        f[i] = (f[i-1] + f[i-2] + 2 * g[i-2]) % mod;
        g[i] = (g[i-1] + f[i-1]) % mod;
    }
    cout << f[n];
    return 0;
}

总结：
递推问题要找到每一步的所有可能情况，然后求解来源。