洛谷 P1990 覆盖墙壁（DP/递推）

传送门

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题目大意

给出一个$2\ast n(1\le n\le 1e6)$的墙壁，规定只能用两种可以任意旋转的砖头覆盖，砖头的形状如下：

求使用这两种砖头覆盖墙壁的方案数对$10000$取模的结果。

解题思路

这种题目主要是推出递推式，虽然是二维的，但是定义状态时仍可以定义$f[i]$表示填充满前面的$2\ast i$个格子的方案数，假设当前要填第$i$列，那么可以尝试一些放置方法，然后从前面已经得出的答案中递推求出：

• 假设竖着放置$1\ast 2$的砖块在第$i$列，那么$f[i]+=f[i-1]$
• 假设最后两列横着放两个$1\ast 2$的砖块，那么$f[i]+=f[i-2]$
• 假设最后放置一个丁字砖块(这个砖块有两种放置方法，因此最后这个累加的答案乘二），此时会得到一个凸出，为了消除这个凸出，可以再放置一个丁字块，这时$f[i]+=f[i-3]$；还可以先放一个$1\ast 2$，然后再放置一个丁字块，这时$f[i]+=f[i-4]$；仔细观察，还可以上下交错放两个$1\ast 2$，然后放一个丁字块补齐凸出，这时$f[i]+=f[i-5]$…以此类推可以发现，这种放置方式最终能放置的方案总数为${\sum }_0^{i-3}f[i]$

综上，$f[i]=f[i-1]+f[i-2]+2\ast {\sum }_0^{i-3}f[i]$，初始化为$f[0]=1,f[1]=1,f[2]=2$。

reference：https://www.luogu.com.cn/blog/222223/solution-p1990

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ENDL "\n"
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long ll;
const int Mod = 10000;
const int maxn = 1e6 + 10;

ll f[maxn], sum[maxn];

int main() {
    
    
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    // freopen("out.txt", "w", stdout);
    ios_base::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    f[0] = 1, f[1] = 1, f[2] = 2;
    sum[0] = 1, sum[1] = 2, sum[2] = 4;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
    
    
        f[i] = (f[i] + f[i - 1]) % Mod;
        f[i] = (f[i] + f[i - 2]) % Mod;
        f[i] = (f[i] + sum[i - 3] * 2) % Mod;
        sum[i] = (sum[i - 1] + f[i]) % Mod;
    }
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}