引言：机器人的运动学

运动学单纯研究机械臂的运动特性（位置、速度、加速度以及位置变量的所有高阶导数（对时间或者其他变量）），不考虑使机械臂产生运动时施加的力。
首先与研究静止时机械臂的位置和姿态。

如何去描述机器复杂的几何形状呢？方法是分别在操作臂的每个连杆上分别设置一个连杆坐标系，然后再描述这些连杆坐标系之间的关系

什么是连杆，如何表示连杆

什么是连杆？

类比人手的大臂和小臂，机器人操作臂也可以看成是由一系列由关节连接成的刚体，称作连杆
关节可被分为转动关节和移动关节，这里主要讨论常用的转动关节。

一般来说，机械臂有几个关节，这个机械臂就有几个自由度。

$\ \ n$ 个自由度的关节构成机械臂机构，就可以看做用 $n$ 个单自由度的关节把 $n-1$ 个

一般从基座开始对连杆进行编号，称固定基座为连杆0，第第一个可动连杆为连杆1，以此类推……

如何表示连杆？

计算这两个参数需要用到两个轴，一个连杆。

把连杆看做刚体，如何描述两个轴之间的连杆的运动呢？
两岸运动的描述需要用到两个参数：连杆长度( $a$ )和连杆扭转角( $\alpha$ )，如图：
在这里插入图片描述

连杆长度（ $a$ ）：将两个轴延长，其公垂线总是存在的，而且是一个固定值。
关节轴 $i-1$ 和关节轴 $i$ 之间的公垂线长度记作 $a_{i-1}$ ,即为连杆长度

连杆扭转角( $\alpha$ )：将关节轴 $i-1$ 和关节轴 $i$ 的某一个轴沿着公垂线平移，使其相交，构成一个平面，在平面内使用右手定则从轴 $i-1$ 绕 $a_{i-1}$ 转向 $i$ 的夹角，记作 $\alpha_{i-1}$ ，即为连杆扭转角

可以用这两个参数来定义空间中任意两条直线（关节轴）的关系

怎样连接连杆

计算这两个参数需要两个连杆，一个公共轴

在运动学分析中，将两个连杆连接在一起，不需要考虑特别复杂的因素，同样只需要掌握两个参数：连杆偏距( $d$ )和关节角( $\theta$ )，这两个参数完全确定了两个连杆之间是如何连接的。考虑两种情况的连杆，对这两个参数进行定义。

对于处于运动链中间的连杆

在这里插入图片描述

连杆偏距（ $d_i$ ）: 两个连杆连接在一起，有三个关节、两个公垂线，两个公垂线沿着两个连杆公共轴线方向的距离可以用连杆偏距描述。
如上图所示的互相连接的连杆 $i-1$ 和 $i$ 使用 $a_{i-1}$ 表示连接连杆 $i-1$ 的两端关节轴的公垂线长度， $a_{i}$ 表示连接连杆 $i$ 的两端关节轴的公垂线长度；从公垂线 $a_{i-1}$ 与关节轴 $i$ 的交点到公垂线 $a_i$ 与关节轴 $i$ 的交点之间的有向距离即为两相邻连杆偏距 $d_i$

关节角（ $\theta_i$ ）: 描述两相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角，是一个变量。
平移使两公轴线相交，公轴线旋转的角度就是关节角 $\theta_i$

当关节是转动关节时，连杆偏距是常量，关节角是变量，若是移动关节，则与之相反。

对于处于运动链两端的连杆

处于运动链两端的连杆，他们的参数习惯设定为0，也就是说，假设对于一个具有转动关节的机械臂， $a_0$ 、 $\alpha_0$ 、 $d_1$ 都为 $0$ ， $\theta_1$ 的值任选，实际上其实不需要定义 $a_n$ 和 $\alpha_n$ ，在后面的DH参数表中会体现到。

连杆参数和连杆坐标系

连杆参数

至此我们知道，每个连杆都可以用四个运动学参数来表示，两个参数描述连杆本身，另外两个参数描述连杆之间的连接关系。
对于转动关节，有三个连杆参数是不变的， $\theta_i$ 是关节变量。我们可以使用这些参数来描述机构的运动关系，这种规则称为DH方法

连杆坐标系

为了描述相邻两连杆之间的相对位置关系，需要在每个连杆上定义一个固连坐标系

建立连杆坐标系的步骤

找出各个关节轴，并标出这些轴线的延长线
找出关节轴 $i$ 和 $i+1$ 之间的公垂线或关节轴 $i$ 和 $i+1$ 的交点，以关节轴 $i$ 和 $i+1$ 的交点或公垂线与关节轴 $i$ 的交点作为连杆坐标系 $\{i\}$ 的原点
规定 $\hat Z$ 轴沿关节轴 $i$ 的指向
规定 $\hat X_i$ 轴沿公垂线的指向，如果关节轴 $i$ 和 $i+1$ 相交，则规定 $\hat X_i$ 轴垂直于关节轴 $i$ 和 $i+1$ 所在的平面
按照右手定则确定 $\hat Y_i$ 轴
当第一个关节变量为0时，定坐标系 $\{0\}$ 和 $\{1\}$ 重合；对于最后一个坐标系 $\{N\}$ ，其原点和 $\hat X_N$ 的方向可以任选，但是尽量使连杆的参数为 $0$ 。

连杆参数在连杆坐标系的表示方法

$a_i$ = 沿 $\hat X_i$ 轴，从 $\hat Z_i$ 移动到 $\hat Z_{i+1}$ 的距离
$\alpha_i$ = 绕 $\hat X_i$ 轴，从 $\hat Z_i$ 旋转到 $\hat Z_{i+1}$ 的角度
$d_i$ = 沿 $\hat Z_i$ 轴，从 $\hat X_{i-1}$ 移动到 $\hat X_i$ 的距离
$\theta_i$ = 绕 $\hat Z_i$ 轴，从 $\hat X_{i-1}$ 旋转到 $\hat X_i$ 的角度

$a_i$ 对应的是距离，所以通常设为正，其他的可以为正，也可以为负

参考：

John J. Craig《机器人学习导论》

机器人运动学——连杆模型参数

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