欧拉函数及定理浅谈

欧拉函数及定理浅谈

什么是 $\varphi$(欧拉函数)

$\varphi(x)$是指在 $1 \rightarrow x-1$中与x互质的数。

我们先不说它有什么用处，先来讲一讲求法。

少量或数据较大的求法 $\longrightarrow$ 时间复杂度 $O(\sqrt{n})$

代码如下：

int phi(int x)
{
    int res = x;
    for (int i = 2;i * i <= x; i++)
        if (x % i == 0)
        {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1)
        res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

大量较小的数据的方法:欧拉筛 $\rightarrow$时间复杂度 $O(n)$

其思路便是在欧拉筛质数的时候顺便求出 $\varphi$

代码如下:

const int N = 1e6 + 5, M = 7.85e4;
int prime[M], phi[N], cnt;
void Euler()
{
    for (int i = 1;i < N; i++)
        phi[i] = i;
    for (int i = 2;i < N; i++)
    {
        if (phi[i] == i)
            prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 1;j <= cnt and i * prime[j] < N; j++)
            if (i % prime[j])
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
            else
            {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
    }
    return;
}

欧拉函数的作用

在这里为了更方便的解释欧拉函数的作用，我们先引入一个概念

欧拉定理

对于 $gcd(a, b) = 1$的 $a, b$两个数

有： $a^{\varphi(b)}\equiv1(mod\ b)$

再介绍一个欧拉定理的特殊情况 $\rightarrow$费马小定理

费马小定理

当 $p$是质数的时候，且 $a$不是 $p$的倍数时

$a^{p-1} \equiv 1\ (mod\ p)$

在这里，我们可以知道 $\varphi(p) = p - 1$

故而 $a^{\varphi(p)}=a^{p-1}$

所以我们可以说费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况


那么如果当 $gcd(a, b) \neq 1$的情况呢

这个时候我们有结论：

$a^c\equiv a^{c\ mod\ \varphi(m)}, gcd(a, m) = 1$

$a^c\equiv a^c, gcd(a, m) \neq 1, c < \varphi(m)$

$a^c\equiv a^{c\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}, gcd(a, m)\neq1,c\geq\varphi(m)$

我们便可以用这个来降幂

例题

super a ^ b mod c

sum

Thanks!