## 浅谈扩展欧拉定理 ### 前置知识： $1,$数论欧拉定理[这里](https://www.cnblogs.com/wangxiaodai/p/9758242.html) $2,$积性函数$\phi$的性质 $3,$以下引理 ### 证明引理用到的引理 (一)，**引理** ​ 设$x$=$lcm(a,b)$。 ​ 可以分解如下 $$ a=p_1^{a_1}*……*p_k^{a_k}\\b=p_1^{b_1}*……*p_k^{b_k} $$ 那么可得： $$ x=p_1^{max(a_1,b_1)}*……*p_k^{max(a_k,b_k)} $$ **证明**：推倒上面的式子，将指数可加解释到整体的乘除法，同理取max也是一样。 ​ 或者手推几个数。 ## 引理 #### (一)， 已知 $$ \begin{cases} x\equiv y(mod　m_1)\\ x\equiv y(mod　m_2) \end{cases} $$ ​ 可得： $$ x\equiv y(mod　lcm(m1,m2)) $$ #### 引理一证明： 可以对$x,m1,m2$进行分解： $$ \begin{cases} x= p_1^{a_1}*……*p_k^{a_k}\\ m1=p_1^{b_1}*……*p_k^{b_k}\\ m2=p_1^{c_1}*……*p_k^{c_k} \end{cases} $$ 又因为： $$ \begin{cases} x％m_1=p_1^{a_1％b_1}*……*p_k^{a_k％b_k}=y\\x％m_2=p_1^{a_1％c_1}*……*p_k^{a_k％c_k}=y \end{cases} $$ 那么对于$y$可以有唯一分解定理解得： $$ a_i％b_i=a_i％c_i $$ 稍加分析就可以得到： $$ x％lcm(m1,m2)=p_1^{a_1％max(b_1,c_1)}*……*p_k^{a_k％max(b_k,c_k)}=y $$ 即证得： $$ x\equiv y(mod　lcm(m1,m2)) $$ #### (二)， 在p是质数的前提下 $$ \phi(p^q)=p^q-p^{q-1}\geq q $$ 引理二的证明也是非常的妙妙啊。 ### 引理二证明 小于等于$p^q$的正整数一共有$p^q-1$个，其中不与$p^q$互质的是$p,p*2,p*3,p^q-p=(p^{q-1}-1)*p$这$p^{q-1}-1$个数。 那么就可以得到$\phi(p^q)=p^q-p^{q-1}$ 妙妙 **另外在正式证明之前还要提一句$\phi$的性质：** 在n和m互质的前提下，存在 $$ \phi(n*m)=\phi(n)*\phi(m) $$ ### 正式证明 ​ 首先先来回顾一下我们要证得是什么？ ​ 欧拉定理CRT ​ 先把式子放出来： $$ a^b \equiv\begin{cases} a^{b％\phi(m)}　　　　(gcd(a,m)==1)\\ a^b 　　　　　　(gcd(a,m) !=1 ＆b<\phi(m))\\ a^{b％\phi(m)+\phi(m)}　(gcd(a,m)!=1＆b\geq\phi(m)) \end{cases}(mod 　m) $$ ​ 然后很容易发现这三个式子都可以用第三个式子表示，也就是在满足任何数的意义下，存在扩展欧拉定理： $$ a^b\equiv a^{b％\phi(m)+\phi(m)}(mod 　m) $$ 开始愉快地证明吧： ​ 首先我们假设模数$m=p^q$，那么很容易知道$a$和$m$的同余性是可以推至$a$和$p$的，当然反推也可以。 ​ 那么就开始最美妙的分情况讨论时间了： ​ (1)，$gcd(a,p)==1$时，求证： $$ a^b \equiv a^{x％\phi(p^q)}(mod 　p^q) $$ ​ 这就不证了，很明显的欧拉定理式子。 ​ (2)，$gcd(a,p)!=1$也就是$gcd(a,p)==p$。 因为p是质数啊喂 ​ 那么我们另$a=k*p$。 ​ 那么就是求证： $$ (k*p)^b \equiv (k*p)^{b％\phi(p^q)+\phi(p^q)}(mod 　p^q) $$ ​ 因为$b\geq\phi(p^q)$ 根据引理二可以知道$b\geq q$ ​ 所以可以得到： $$ p^b％p^q=0 $$ ​ 所以又可以得到： $$ a^b=(k*p)^b \equiv 0 (mod 　p^q) $$ ​ 又因为$\phi(p^q)\geq q$，所以又可得： $$ a^{b％\phi(m)+\phi(m)}\equiv 0 (mod　p^q) $$ ​ 那么到了这里，就已经证毕。 ​ 即证得： $$ a^b \equiv a^{b％\phi(m)+\phi(m)}(mod　p_q) $$ 又因为$\phi$函数的积性，可以将上述结论推至对所有模数m都成立。