关于欧拉定理

欧拉定理

$$a^{\varphi(n)}\equiv 1(mod\:n),\:gcd(a,n)=1$$
对于正整数 $n$，代表小于等于 $n$的与 $n$互质的数的个数，记作 $\varphi(n)$。
比如 $\varphi(6)=2$，因为与 $6$互质并且小于等于 $6$的正整数有 $1,5$。
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扩展欧拉定理(降幂公式)
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$a^b \equiv \begin{cases} a^{b \%\varphi(p)}, & \text{gcd(a,p)$\:$=$\:$1} \\ a^b, & \text{gcd(a,p)$\:$$\not=$$\:$1,$\: b\:$< $\varphi$(p)}\\ a^{b \%\varphi(p)+\varphi(p)},&\text{gcd(a,p)$\:$$\not=$$\:$1,$\: b\:$$\geq$ $\varphi$(p)}\end{cases}$ $\:\:\:\:\:\:\:\:$ $(mod$ $p)$

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除此之外呢，欧拉定理有以下几个性质，
$1.\:$如果$n$为某一素数$p$，则有$\varphi(p)=p-1$。因为$p$为素数，因子只有$1$和$p$，而$p$和$p$不互质，所以$\varphi(p)=p-1$。

实际上呢，欧拉定理是费马小定理的一种推广，我们利用性质$1$就可以很容易证明。
费马小定理：$a^{p-1}\equiv 1(mod\:p),gcd(a,p)=1$。因为$p$为质数，所以有$\varphi(p)=p-1$，代入欧拉定理即可。
推论：$a^p\equiv a(mod\:p)$，如果$a$能被$p$整除。

$2.\:$如果$n$为某一素数$p$的幂次，则有$\varphi(p^a)=(p-1)\cdot p^{a-1}$。因为比$p^a$小的正整数有$p^a-1$个，能被$p$整除的数有$p^{a-1}-1$个（将$1\to p^a-1$之间$p$的倍数筛去），所以$\varphi(p^a)=p^a-1-(p^{a-1}-1)=(p-1)\cdot p^{a-1}$。

$3.\:$如果$n$为任意两个正整数$a$和$b$的乘积（$a$和$b$互质），那么有$\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)$。我们设$x=\phi(i)$（即和$a\cdot b$互质的数），那么就有

$$(S):\begin{cases} x_1\equiv t_1(mod\:a) \:(gcd(t_1,a)=1)\\ x_2\equiv t_2(mod\:b) \:(gcd(t_2,b)=1) \end{cases}$$ 那么我们根据 中国剩余定理可知，对于任意 $t_1,t_2$，方程组 $(S)$的解在区间 $[1,a\cdot b)$有唯一解与之对应。 $t_1$的取值有 $\varphi(a)$个， $t_2$的取值有 $\varphi(b)$个。
所以 $\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot \varphi(b)$。

$4.\:$设$n=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot p_3^{e_3}......p_k^{e_k}$（$p_i$为素数），则有
$\varphi(n)=n\cdot(1-\frac{1}{p_1})\cdot(1-\frac{1}{p_2})\cdot(1-\frac{1}{p_3})......(1-\frac{1}{p_k})$。
根据性质$2$和性质$3$就可以很好的推出：因为$p_i$都为素数，所以每一个$p_i$都是互质的，所以同样$p_i^{e_i}$也是互质的。因此由性质$2$：$\varphi(p_i^{e_i})=p_i^{e_i}-1-(p_i^{e_i-1}-1)=p_i^{e_i}\cdot (1-\frac{1}{p_i})$，和性质$3$：$\varphi(p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdot p_3^{e_3}......p_k^{e_k})=\varphi(p_1^{e_1})\cdot \varphi(p_2^{e_2})\cdot \varphi(p_3^{e_3})......\varphi(p_k^{e_k})$，可以推出$\varphi(n)=n\cdot(1-\frac{1}{p_1})\cdot(1-\frac{1}{p_2})\cdot(1-\frac{1}{p_3})......(1-\frac{1}{p_k})$。

欧拉函数的线性筛法

根据如下三个性质可以完成线性筛法。
$1.\:\:\varphi(p)=p-1$
$2.\:\:\varphi(p\cdot i)=p\cdot \varphi(i)\:\:(p\%i=0)$
$3.\:\:\varphi(p\cdot i)=(p-1)\cdot \varphi(i)\:\:(p\%i\not=0)$
(具体证明就不证啦啦～作为模板使用就好啦^_^)

void initPhi(int n)
{
    phi[1] = 1; //φ(1) = 1
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        if(!vis[i]){
            phi[i] = i - 1; //性质1
            prime[++cnt] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= cnt; ++j){
            if(i * prime[j] > n) break;
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0){ //性质2
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]]; //性质3
        }
    }
}