欧拉函数及费马定理

欧拉函数

定义：

φ（n）=$[1,n]$区间内和n互质的数的个数。

计算公式：

将n分解质因数为，n = $p_1^{{\alpha }_1}\ast p_2^{{\alpha }_2}...\ast p_k^{{\alpha }_k}(p_i为质数)$
则φ（n）= $n\ast (1-\frac{1}{p_1})\ast (1-\frac{1}{p_2})\ast ...\ast (1-\frac{1}{p_k})$

证明：
容斥原理：

φ（n）$=n-\lfloor \frac{n}{p_1}\rfloor -\lfloor \frac{n}{p_2}\rfloor -...-\lfloor \frac{n}{p_k}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p_1\ast p_2}\rfloor +\lfloor \frac{n}{p_1\ast p_3}\rfloor +...+\lfloor \frac{n}{p_k\ast p_k}\rfloor -\lfloor \frac{n}{p_1\ast p_2\ast p_3}\rfloor -\lfloor \frac{n}{p_1\ast p_2\ast p_4}\rfloor -...-\lfloor \frac{n}{p_k\ast p_k\ast p_k}\rfloor +...$
$=n\ast (1-\frac{1}{p_1})\ast (1-\frac{1}{p_2})\ast ...\ast (1-\frac{1}{p_k})$（展开式和上式一样）

公式法求欧拉函数

#include<iostream>

using namespace std;

int main(){
    
    
    int n;
    cin>>n;
    while(n--){
    
    
        int a;
        long long res;
        cin>>a;
        res = a;
        for(int i=2;i<=a/i;i++){
    
    
        	//分解质因数
            if(a%i==0){
    
    
           		//计算欧拉函数
                res = res*(i-1)/i;
                while(a%i==0)a/=i;
            }
        }
        if(a>1) res = res*(a-1)/a;
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}

筛法求欧拉函数

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6+5;

int prime[N],cnt;
int st[N];
LL phi[N];
int res = 0;

void get_olera(int n){
    
    
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<= n;i++){
    
    
        if(st[i]==0){
    
    
        	//质数的情况
        	phi[i]=i-1;
        	prime[cnt++]=i;
        }
        for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++){
    
    
        	//筛去的是i自身以外的数
            st[prime[j]*i]=1;
            if(i%prime[j]==0){
    
    
                //prime[j]是i的最小公约数
                phi[prime[j]*i] = phi[i]*prime[j];
                break;
            }else{
    
    
            	//prime[j]不是i的最小公约数
            	phi[prime[j]*i] = phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
}

int main(){
    
    
    int n;
    cin>>n;
    get_olera(n);
    return 0;
}

欧拉定理

定义：

$若a与n互质，a^{\phi (n)}三1（modn）$

证明：

定理1：设$a_1,a_2...a_k是[1,n]内所有和n互质的数，则a_i\ast a_1,a_i\ast a_2，...，a_i\ast a_k也肯定和n互质$
（证明：设i,j都和k互质，则将i,j,k分解质因数后i,j,k必然没有相同质因数。所以ij也必然没有和k相同的质因数，所以ij和k互质。）

$由定理1得，设a和n互质$
$则a\ast a_1,a\ast a_2，...，a\ast a_k也肯定和n互质$
则 { a ∗ a 1 , a ∗ a 2 ， . . . ， a ∗ a k } m o d   n = = { a 1 , a 2 , . . . , a k } 则\{a*a_1,a*a_2，...，a*a_k\} mod\ n == \{a_1,a_2,...,a_k\} 则{ a∗a1​,a∗a2​，...，a∗ak​}mod n=={ a1​,a2​,...,ak​}
$则a\ast a_1\ast a\ast a_2，...，a\ast a_k三a_1\ast a_2\ast ...\ast a_k(modn)$
$则a^k三1(modn)，即a^{\phi }(n)三1(modn)$

推论：
费马定理：
当n是质数的时候，$a^{n-1}三1（modn）$