欧拉函数是一个好东西.
欧拉函数的符号为φ，其中φ(n)表示1~n中与n互质的数的个数.
那么φ(n)的求法如下：
φ(n)=N*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2*...*(pm-1)/pm.
其中p1,p2,...,pn什么的是唯一分解定理中n=p1^c1*p2^c2*p3^c3...*pm^cm.
若p是N的因子，就会筛掉n/p个数，同时q也会筛掉n/q个数，但它们中间的那部分n/(p*q)得加回来.
也就是我们可以推导出：N-n/p-n/q+n/(p*q)=N*(1-1/p)*(1-1/q).
那么代码实现如下：
int phi(int n){
int ans=n;
for (int i=1;i<=sqrt(n);i++)
if (n%i==0){
ans=ans/i*(i-1);
while (n%i==0) n/=i;
}
if (n>1) ans=ans/n*(n-1);
return ans;
}
那么这是一种O(sqrt(n))的算法.
当然它还可以在线性的时间里推出phi(1~n).
这就要利用到线性筛了.
线性筛blog地址：https://blog.csdn.net/hzk_cpp/article/details/80418319.
首先我们介绍几个欧拉函数的性质才能用线性筛求：
1.若n为素数，则φ(n)=n-1.
2.φ(a*b)=φ(a)*φ(b).
3.当p为素数时，φ(p^k)=(p-1)*p^(k-1).
证明：
首先比令n=p^k，那么比n小的正整数有p^k-1个.
容易得出其中与n不互素的数共有p^(k-1)-1个.
所以φ(p^k)=(p^k-1)-(p^(k-1)-1)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^(k-1).
4.当p为素数时，若i%p=0，则φ(i*p)=p*φ(i).
5.当p为素数时，若i%p≠0，则φ(i*p)=(p-1)*φ(i).
那么用线性筛的思想，代码就很好写了：
const int N=10000000;
int pr[N+1],top=0,phi[N+1];
bool b[N+1];
void prime(int n){
top=0;
memset(b,1,sizeof(b));
b[0]=0;b[1]=0;
phi[0]=0;phi[1]=0;
for (int i=2;i<=n;i++){
if (b[i]) pr[++top]=i,phi[i]=i-1;
for (int j=1;j<=top&&pr[j]*i<=n;j++){
b[pr[j]*i]=0;
if (i%pr[j]==0) {
phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
break;
}else phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
}
}
}
再来一个定理叫做欧拉定理.
若a,p互质，则a^φ(p)≡1(mod p).
那么证明可以这样：
我们可以证明，集合{a1,a2,a3,...,aφ(p)}与{a*a1,a*a2,...,a*aφ(p)}在mod p意义下是同一个集合.
那么也就是说a^φ(p)*a1*a2*...*aφ(p)≡a1*a2*...*aφ(p)(mod p).
即a^φ(p)≡1(mod p).
证明过程很简洁吧.
其实是我太懒了，两个集合为什么相同未证.
那么这个定理还有一个推论：若a,n互质，则对于任意正整数b有a^b≡a^(b mod φ(n)) (mod n).
证明就是：设b=q*φ(n)+r，那么a^b≡a^(q*φ(n)+r)≡(a^φ(n))^q*a^r≡1*a^r≡a^(b mod φ(n)) (mod n).
接下来还有一个费马小定理：若p为素数，则a^p≡a (mod p).
用欧拉定理就可以证明.
至于这些东西有什么用，我也很想知道.