線形代数（A）

これは、一連の記事で、主な参照は、第二章のネルソンの量子計算と量子情報で収集することで、プラス演習の一部に対する回答。
最初は、量子文脈におけるいくつかの計算では発現を含む、線形代数の使用を整理する場所、行列の束である量子コンピュータの観点から、線形代数は非常に重要であり、最も基本的な部分であります。

ベクトル空間\（C ^ N \）：

複素数のすべてのn-タプルのスペース\（（Z_1、...、Z_N）\）。

ベクトル空間は、一般的に量子力学で使用される、ベクトル要素と呼ばれる|（\ varphi \ rangle \ \ ）を表し、すなわち、行列形式で表現することができる
\開始{[左\ [\行列} Z_1 \\ \ vdots \\ Z_N \端{行列} \右
] \] 我々ベクトル空間上の次の2つの操作を定義します。

加算演算
\ [\左[\開始{行列} Z_1 \\\ vdots \\ Z_N \端{行列} \右] + \左[\ {行列}開始Z_1 '\\\ vdots \\ Z_N' \端{マトリックス} \ \当量\]右[\開始{行列} Z_1 + Z_1 '\\\ vdots \\ Z_N + Z_N' \端{行列} \右] \]を残し
スカラー演算による乗算は
\ [Z \左[{行列} Z_1 \\\ vdots \\ Z_N \端{行列} \当量\]右\左の[開始\ {行列} zz_1 \\\ vdots \\ zz_n開始\ \端{行列} \] \]右
特別なゼロベクトルが含まれています

ベクトル部分空間

定义：ベクトル空間Vのベクトルの部分空間は、Wはまた、Wは、スカラー乗算及び加算の下で閉じなければならないれるベクトル空間、であるようなVの部分集合Wであります

三次元空間の平面の部分空間であり、空間の二次元の部分空間は、ラインで、同じことが、彼らは、各グループを表すことができ、必ずしも次元空間ではありません。

拠点と線形独立性

スパニングセット

各ベクトル空間ベクトルは、ベクトルの集合にまたがるの線形結合として書くことができ、ベクトル空間は、複数のスパニングセットを持つことができます。

\（| V_ {1} \ rangle \当量\左の[開始\ {アレイ} {1} {1} \\ {0} \端{アレイ} \右] \クワッド| V_ {2} \ rangle \当\ [\ {アレイ} {始める左 L} {0} \\ {1} \端{アレイ} \右] \）およびV_ {1} |（\ \ rangle \当量\ FRAC {1} {\ SQRT { 2}} \左[\開始 {アレイ} {1} {1} \\ {1} \端{アレイ} \右] \クワッド| V_ {2}「\ rangle \当量\ FRAC {1} {\ SQRT {2}} \左[\開始{アレイ} {R}、{1} \\ {-1} \端{アレイ} \右] \）同じ空間にまたがる設定することができます

設定線形独立なベクトルを必要としないセットスパニングベクトルが唯一のセットが空間全体にまたがることができる必要があります。

線形従属

複素数のセットが存在する場合、\（A_ {1}、\ドット、A_ {N} \）と\（A_ {I} \ neq0 \）の少なくとも一つの値の\（I \）ように、
\ [A_ {1} | V_ {1} \ rangle + A_ {2} | V_ {2} \ rangle + \ cdots + A_ {N} | V_ {N} \ rangle = 0 \]
はベクトル空間Vに及ぶ線形独立なベクトルのうちの任意の2つのセットが同じ数の要素を含むことを示すことができます。

証明：

要素のグループの異なる数が存在する場合は線形独立スパニング・セット、すなわち、空間である（| V_ {1} \ \ rangle、\ ldots、| V_ {M} \ rangle \）と\（| W_ {1} \ rangle、\ ldots、| {N} W_ \ rangle \）、想定している）（M> N \ \。

以下のために、M = 1 Mである。\（| V_ {M} \ rangle = \ sum_ {N-} B_ {NM} | W_ {N-} \ rangle \）、以来（| W_ {N} \ \ rangle \）は、スパニング・セットであります、それらは、式の線形結合を使用しなければならない（| {M} V_ \ rangle \）\。

もし\（| V_ {M} \ rangle \）非ゼロの線形独立、全く存在しない\（A_1、A_2、...、 A_M \）次式満たす：\（A_ 1 {} |} 1 V_ {\。 rangle + A_ {2} | V_ {2} \ rangle + \ cdots + A_ {M} | V_ {M} \ rangle = 0 \）

即：\ [\ sum_ma_m \ sum_ {n}はB_ {} NM | W_ {N} \ rangle = 0 \]

\ [\ sum_m \ sum_ {n}はa_mb_ {NM} | W_ {N} \ rangle = 0 \]

\ [\ sum_n（\ sum_ {M} a_mb_ {NM}）| W_ {N} \ rangle = 0 \]

そしてので\（| W_N \ rangle \）は、それぞれが0の係数を持つことができるように、= 0上記の式を作るために、したがって、線形独立です。すなわち、任意のための\（| W_N \ rangle \）、\ （\ sum_ {M}} = 0 nmのa_mb_ {\）

\（B_ {11} A_ {1} + B_ {12} A_ {2} + \ cdots + B_ {1} M A_ {M} = 0 \\ B_ {21} A_ {1} + B_ {22} A_ {2} + \ドット+ B_ {2 M} A_ {M} = 0 \\\ドット\\ B_ {N 1} A_ {1} + B_ {N 2} A_ {2} + \ cdots + B_ {NM } A_ {M} = 0 \）

以来（M> N \）\、未知数の数が方程式の数よりも多いので、非ゼロのソリューションが存在しなければなりません

そして、仮定と矛盾するので、\（M = N \）

基礎

線形独立=基礎スパニングセット+

根拠は、スパニングセットでなければなりませんが、必ずしもそうではない根拠スパニングセットは、基礎が高い要件があり、ベクトル内の設定要件は線形独立です。

基礎内の要素の数は、Vの寸法であると定義されます

同じスペースはスペースの同じ寸法のですか？

NO、 3次元空間は同じ空間ではない二次元の部分空間、卵次元空間の数に制限することができます。

例えば：

\（| V_ {1} \ rangle \当量\左[\ {アレイ} {1} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0を開始\端{アレイ} \右]クワッド\ | V_ {2} \ rangle \当\左[\ {アレイ} {1} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0を開始\端{アレイ} \右] \）和\（| V_ {1} '\ rangle \当量\開始\ [左{アレイ} {1} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \端{アレイ} \右] \クワッド| V_ {2}」\ rangle \当量\左[0 {アレイ} {1}を開始\ \\ 0 \\ 0 \\ 1 \端{アレイ} \右] \）

ベースは2つだけが、彼らは互いに（4次元の二次元部分空間）と、得られた空間を表現することができないので、彼らは、空間が2次元であるまたがります。

線形演算子とMATRICS

線形演算子

ベクトル空間の間のAリニア演算子\（V \）と\（W \）は任意の関数として定義される：\（\ A）（V \ RIGHTARROW W \）\入力、ITSにおける線形で、
\ [A \は（左V_ {I} \右\ rangle
）\] | \ sum_ {I} A_ {I} | {I} \（左V_ {I} \右\ rangle）= \ sum_ {I} A_ 線形演算子のため要件は、入力が線形であるということです。

特別線形演算子：
アイデンティティ演算子：\ （I_ {V}の| V \ rangle \当量| V \ rangle \）

ゼロ演算子： \（0 | V \ rangle \当量0 \）

基づいて線形演算子Aのアクションが指定されると、Aの作用は、完全にすべての入力に決定される。任意のベクターベースの線形結合で表すことができる、と線形オペレータ入力があるので、このスペース線形。

実際には、線形演算子とマトリックスの視点は、完全に同等であることが判明します。

証明：

行列は線形演算子である：マトリックス入力は線形である：
\ [A \左（\ sum_ {I} A_ {I} | V_ {I} \右\ rangle）= \ sum_ {I} A_ {I} A | {I} V_ \ rangle \]
（6）は、基本的な式の行列であります

これは、線形演算子行列であります：

前提（A \）\から\（V \）空間\（W \である）、オペレータ空間線形\（| {1} V_ \ rangle、\ ldots、| V_ {M} \ rangle \）されている\ （V \）空間群\（| W_ {1} \ rangle、\ ldots、| W_ {N} \ rangle \）である\（Wは\）空間群

その後、いずれかの\（J \） 1から（M \）\、複合の組が存在しなければならない\（A_ {1 J} \ ）の\（NJ A_ {} \）、次式が成立するように：
\ [ A | V_ {J} \ rangle
= \ sum_ {I} A_ {IJ} | W_ {I} \ rangle \] 以来（A \）\である\（| V_ {J} \ rangle \）にマッピングされる（\ Wは\）で、あなたが使用できるスペース、マッピングのその結果）\ \（Wがある組み合わせは、空間群を表すために、線形。

（E2.3）オペレータ製品の行列表現

仮定\（Aは\）ベクトル空間である（V \）\に\（Wある\）線形演算子、\（B \）である\（Wは\）に\（X- \）線形演算子、\（| V_ {I} \ rangle、| W_ {J} \ rangle、\）と\（| X_ {K} \ rangle \）は、三つのグループの上方の空間です。
\ [\ \ {式を}開始 {整列} BAを開始| V_ {I} \ rangle＆= B \ sum_ {J} A_ {JI} | W_ {J} \ rangle \\＆= \ sum_ {J} A_ { JI} B | W_ {J} \ rangle \\＆= \ sum_ {J} A_ {JI} \ sum_ {K} B_ {KJ} | X_ {K} \ rangle \\＆= \ sum_ {J} \ sum_ {K} A_ {JI} B_
{KJ} | X_ {K} \ rangle \\ \端{整列} \端{式} \] 第二工程の第一段階から、なぜなら\（A_ {JI} \）値のみ、インデックスは、インデックスの変化の前に、あるここで注意することは、外に置くことができます。

アイデンティティのための（E2.4）行列表現

ベクトル空間V上のアイデンティティ、オペレータは対角線に沿ったものであるとマトリックス表現は同じ入出力塩基に対して取られている場合、他のどこでもゼロ行列表現を有することを示します。この行列は単位行列として知られています。

身分証の行列は、0 1、残りの対角行列です。

証明：
\ [I | V_ {J} \ rangle = \ sum_ {I} I_ {のIJ}の| V_ {I} \ rangle \]
場合にのみ\（I = J \）場合\（I_ {IJ} \）それは、1であり、\（| {I} V_ \ rangle = | V_ {J} \ rangle \）。

したがって、任意の入力のために、入力及び出力は同じです。

パウリ行列

\ [\ sigma_ {0} \当I \当\左の[開始\ {アレイ} {LL} {1}と{0} \\ {0}と{1} \端{アレイ} \右] \]

\ [\ sigma_ {1} \当量\ sigma_ {X} \当X \当\左[\ {アレイ} {LL} {0}と{1} \\ {1}と{0} \端{アレイを開始します}\正しい] \]

\（X \）ドアビットフリップ、缶\（| 0 \ rangle \）となる\（| 1 \ rangle \）、\ （| 1 \ rangle \）となる\（| \ 0 \ rangle）、なら\（| 0 \ rangle \）と\（| 1 \ rangle \）座標のx軸とy軸、45°程度の位置と同等として、すなわち\（| 1 \ rangle \）の回転位置。
\ [\ Sigma_ {2} \当量\ sigma_ {Y} \当Y \当\左[{アレイ} {RR} {0}と{-i} \\ {I}と{0} \端を開始\ { 配列} \右] \]

\ [\ sigma_ {3} \当\ sigma_ {Z} \当Z \当\左[\ {アレイ} {RR} {1}と{0} \\ {0}＆{-1} \端を開始{配列} \右] \]

内積

定義

内積は、入力として二つのベクトルをとる関数である\（| V \ rangle \）と\（| W \ rangle \）ベクトル空間から、出力として複素数を生成します。

ベクトル空間上の2つの元の複雑な機能。

記法\（\ langle V | \）へのデュアル・ザ・ベクトルのベクトルに使用されます\（| V \ rangle \）、二重の操作は、ベクトル空間の内積がリニアスペース演算子の複数にマッピングされています。

内積ベクトル空間が定義内の製品の前に、加算器の和によってのみベクトル空間が存在し、内積演算で定義されたベクトル空間です。有限次元複素ベクトル空間の内部に、および内積ヒルベルト空間は、意味空間です。

プロパティ

：第二の入力の内積は、線形である
（| V \ rangle、\ sum_ {I} \ lambda_ {I} | {I} W_ \ rangle）= \ sum_ {I} \ {I} lambda_（\ [ | V \ rangle、| W_ { I} \ rangle）\]
\（（| V \ rangle、| W \ rangle）=（| \ rangle W、| \ rangle）^ {*} \）
\（（| V \ rangle、 | V \ rangle）\ GEQ 0 \）ベクトルが0であるとき、ベクトルである場合にのみ、

在复数上的定义是：
\ [\、（Y_ {1}、\ ldots、Y_ {N} \右）左\左（Z_ {1}、\ ldots、Z_ {N} \右）\（左\右）\当量\ sum_ {I} Y_ {I} ^ {*} Z_ {i}は= \ [\ [Y_ {1} ^ {*} \ ldots Y_ {N} ^ {*} \右】左左\開始{アレイ} {C} {Z_ {1}} \\ {\ vdots} \\ {Z_ {N} \端{アレイ} \右] \]

最初の引数で（E2.6）内積共役線形

最初の入力パラメータのオペレータ証明内積が線形共役である、第二のステップは、気性の最初のステップは、製品、コンジュゲート2~3の性質、再び製品特性1を備えた4に3個である
\ [\開始{整列}（\ sum_ {I} \ lambda_ {I} | W_ {I} \ rangle、| V \ rangle）＆=（| V \ rangle、\ sum_ {I} \ lambda_ {I} | W_ {I} \ rangle）^ { *} \\＆= [\ sum_ {I} \ lambda_ {I}（| V \ rangle、| W_ {I} \ rangle）] ^ {*} \\＆= \ sum_ {I} \ lambda_ {I} ^ {*}（| V \ rangle、| W_ {I} \ rangle）^ {*} \\＆= \ sum_ {I} \ lambda_ {I} ^ {*} \左（| W_ {I} \右
、rangle \ | V \ rangle）\端{整列} \] それらの内積がゼロである場合、2つのベクトルが直交しています。

ベクトルのノルムが定義される：\（\ | | V \ rangle \ | \当量\ SQRT {\ langle vは| V \ rangle} \）、これは単位ベクトルである場合、このベクトルのノルムが正規化、ベクトル1 ：\ （| V \ rangle / \ | | V \ rangle \ | \）

正規直交正規直交基底

直交ベクトルである基の組、および各ベクトルのノルムが両方とも1である場合、これは正規直交の基です。

グループのいずれかのセットのために\（|。W_ 1} {\ rangle、\ ldots、| {D} W_ \ rangle \）、我々は正規直交基底のセットにグラム・シュミットに彼の方法を使用することができます\（| {} 1 V_ \ rangle、\ ldots、| {D} V_ \ rangle \）以下：

定義（。| V_ 1} {\ rangle \当量|。W_ 1} {\ rangle / \ | |。W_ 1} {\ rangle \ | \）\、正規化された第1のベクトル
对\（1 \当量のK \当量D-1 \）、定义\（| U_ {K + 1} \ rangle \）
\ [| V_ {K + 1} \ rangle \当量\ FRAC {| W_ {K + 1} \ rangle- \和が_ {i = 1から} ^ {K} \左\ langle V_ {I} | W_ {K + 1} rangle \ \右| V_ {I} \ rangle} {\ | | W_ {K + 1} \ rangle- \和が_ {i = 1から} ^ {K} \左\ langle V_ {I} | W_ {K + 1} rangle \ \右| V_ {I} \ rangle \ |} \]

実際には、理解することは困難ではない、最終的に規格化し、既存の直交基底の前のマイナス部分を発現することができます。

（E2.8）は正規直交基底を得るために、グラム・シュミットの手順を示した後に

誘導を使用して、時に時刻k = 1は、以下が成り立ちます

\ [\ {}整列開始| V_1 \＆rangle = | W_ {1} \ rangle / \ | | W_ {1} \ rangle \ | \\ | V_ {{2} \ rangle＆= \ FRAC | {2} W_ \ rangle- \左\ langle V_ {1} | W_ {2} \右\ rangle | V_ {1} \ rangle} {\ | {2} W_ \ rangle- \左\ langle V_ {1} | W_ {2} \右\ rangle | V_ {1} \ rangle \ | } \\ \ langle V_ {1} | V_ {2} \ rangle =＆\ langle V_ {1} | （\フラクショナル{| W_ {2} \ rangle- \ langle V_ {1} | W_ {2} \ rangle | V_ {1} \ rangle} {\ | | W_ {2} \ rangle- \ langle V_ {1} | W_ {2} \ rangle | V_ {1} \ rangle \ |}）＆\\ = \ FRAC {\ \左langle V_ {1} | W_ {2} \右\ rangle- \左\ langle V_ {1} | W_ {2} \右\ rangle \左\ langle V_ {1} | V_ {1} \右\ rangle} {\ | | {2} W_ \ rangle- \左\ langle V_ {1} | W_ {2} \右\ rangle | V_ {1} \ rangle \ |} = 0＆\\ \開始{整列} \]

で\（| V_ {1} \ rangle、\ ldots、| V_ {K} \ rangle \）互いに直交する、プルーフで\（| V_ {K + 1 } \ rangle \）とそれらに直交

以下のための\（| V_ {J} \ rangle \）（のためにJ = 1 Kである。）、\（| K + 1 {} V_ \ rangle \。）及びそれらの内積です。

\ [\ \ \左langle V_ {J} {}整列開始| V_ {K + 1} \右\ rangle＆= \ langle V_ {J} |（\ FRAC {| W_ {K + 1} \ rangle- \ sum_ {iは1} ^ {K} \左= \ langle V_ {I } | W_ {K + 1} \右\ rangle | V_ {I} \ rangle} {\ | | W_ {K + 1} \ rangle- \ sum_ {I = 1} ^ {K} \左\ langle V_ { I} | W_ {K + 1} \右\ rangle | V_ {I} \ rangle \ |}）\\＆= \ FRAC {\ langle V_ {J} | W_ {K + 1} \ rangle- \ sum_ {i = 1} ^ {K} \ {I} \ langle V_を左| W_ {K + 1} \右\ rangle \ langle V_ {J} | V_ {I} \ rangle} {\ || W_ {K + 1} \ rangle- \ sum_ {i = 1} ^ {K} \ {I} \ langle V_を左| W_ {K + 1} rangle \ \右| V_ {I} \ rangle \ |} \ {終了整列} \]

\（\ V_ langle {J} | {I} V_ \ rangle = \ {delta_time_unit_addressのIJ} \）、\ （delta_time_unit_addressの\} IJ {\）老婆シンボルが、彼が場合のように定義されている\（iはJ = \ ）時間は1、及び0です。したがって、場合にのみ\（iはjを\ =）のみであってもRHS値を、であり、\（\ V_ langle {J} |。W_ K + 1 {} \ rangle \）。

\（\ langle V_ {J} | W_ {K + 1} \ rangle- \ langle V_ {J} | W_ {K + 1} \ rangle = 0 \）ので、新しい計算\（| W_ {K + 1 } \ rangle \）と直交基底の正面に直交しています。

ベクトル空間\（C ^ N \） ：