ベクトルの集合のスパン
定義1
ましょう\（\ mathcal {S} = \左\ {\ mathbf {U} _ {1}、\ mathbf {U} _ {2}、\ドット、\ mathbf {U} _ {K} \右\} \ ）からのベクトルの集合であり、\（\ mathcal {R ^ N} \）のスパンは\（\ mathcal {S} \）内のすべての線形結合である\（\ mathcal {R ^ N} \） 、セットスパンで表される\（\ mathcal {S} \）、またはスパン\（\左\ {\ mathbf {U} _ {1}、\ mathbf {U} _ {2}、\ドット、\ mathbf {U} _ {K}右\ \} \）
\（\ \テキスト{スパン}でVECのV \ \ mathcal {S} \ Longleftrightarrow \ VECのV \テキスト{$ \ mathcal {S} $からベクターによる何らかの線形結合であり得る} \ Longleftrightarrow \ mathbf {A} \ VEC X = \ VECのV \テキスト{一致している場合$ \ mathbf {A} = [VEC U_1 \〜\ cdots〜\ VEC u_n] $} \）
定義2
場合\（\ mathcal {V}は\）からのベクトルの集合であり、\（\ mathcal {R ^ N} \）とスパン（\ \ mathcal {S} \） = \（\ mathcal {V} \） 、次いで我々は、と言うことができる\（\ mathcal {S} \）を生成\（\ mathcal {V}を\）またはその\（\ mathcal {S}は\）の発電装置である\（\ mathcal {V} \） 、
例1
ましょう\（\ mathcal {S} = \左\ {\左[\開始{アレイ} {1} {1} \\ {0} \\ {0} \端{アレイ} \右]、\左[\ 】右\開始{アレイ} {1} {1} \\ {1} \\ {0} \端{アレイ}、\ [\開始{アレイ} {1} {1} \\ {1}を左\\ } \右\]右\ \端{アレイ} { - - 2} \\ {1} {1} \端{アレイを} \右]、\左[\ {アレイ} {R}、{1} \\開始\） 、そのスパン表示\（\ mathcal {S} = \ mathcal {R ^ 3} \）
証明：
以降\（\テキスト{スパン} \ mathcal {S} ^ 3 \ \サブセット\ mathcal {R}） 明らかに確立され、我々はそれを証明する必要が\（\ mathcal {R} ^ 3 \サブセット\テキスト{スパンを} \ mathcal {S} \） 、すなわち、\（\ mathcal {R ^ 3 } \） のいずれかのベクター（\ \ VECのV \）属する\（\テキスト{スパン} \ mathcal {S} \）を、さらに、我々は式証明したい\（\ mathbf {A}、X = V \） （または名前付き一致）可解である（\ ^ R＆LT mathcal {}。3）\で（\ FORALL \ VEC Vの\）\し、ここで
の\ [ \ mathbf {A} = \左 {1}と{1}と{0}＆\\ [\開始{アレイ} {RRRR} {1}と{1}と{1}と{1} { - 2} \\ {0}＆{0}
と{1}および{ - 1} \端{アレイ} \右] \] R＆LT最も単純な行階段形に行列A
\ [\ R＆LT mathbf {} = \左[ \開始{アレイ} {CCCC} {1}と{0}＆{0}と{3} \\ {0}と{1}と{0}＆{-1} \\ {0}＆{0} {1}＆＆{-1} \端{アレイ} \右] \]
それは見ることができ、拡大行列の\（[\ mathbf {A} 〜B] \） に\（[\ mathbf {R} 〜C] \） 次に、関係なくここでの\は、（\ VEC C \）数であり、線形方程式は、解決しなければならない、すなわち、関係なく、拡張マトリックスの\（[\ mathbf {A} 〜B] \） 解決可能でなければならない線形方程式の数との対では\（\ mathcal {R ^ 3 } \）任意のベクター（\ \ VECのV \）が真である場合、\（\ mathcal {R＆LT ^ 3} \サブセット\テキスト{スパン} \ mathcal {S} \） 、結論が上記のものであることができるスパンを立証\（\ mathcal {S} = \ ^ R＆LT mathcal。3} {\）。
定理1.6
約次の文\（Mの\回N \）マトリックス\（\ mathbf {A}は\）に等価です
（A）の列のスパン\（\ mathbf {A} \）されている\（\ mathcal {R ^ M} \）
（B）式（\ \ mathbf {A}のx = bの\）有する少なくとも1つの溶液（\（AX = Bの\）は、各Bに対して一貫している）\（\ mathcal {R ^ M} \）
（C）のランク\（\ mathbf {A}は\） M、の行のNUMERある\（\ mathcal {A} \）
（D）の減少行階段形\（\ mathcal {A}は\） M個の非ゼロ行を有します
（e）は、各列におけるピボットあり\（\ mathcal {A} \）
証明する唯一の（b）は\（\ Longleftrightarrow \）（C）、その他は直接の定義によって起動することができます
（1）（B）\（\ RIGHTARROW \）（C）
（c）が満たされない、すなわち、ランク（仮定\（\ mathbf {A} \ ） ）<M、マトリックス\（\ mathbf {A} \ ） 最も単純な行階段形行列Rに続いて、最後の行は非ゼロでなければなりませんOK、我々は、m番目の要素をとる単位ベクトル1であり、\（\ VEC e_m \）と\（\ mathbf {R} \ ） マトリックスからなる（\ [e_m〜\ mathbf {R＆LT}]）\次いで、[（\ \ mathbf {R}は〜e_m] \） ので、（定理1.5）ミスマッチされる（\ \ mathbf {A} \ ） となる（\ \ mathbf {R}は\ ） 実質的に線変化は可逆的であり、我々は（[\ mathbf {R} \ 〜e_m] \） 逆変換ライン変化のこのシリーズに適用され、拡張行列を得ることができる\（[\ mathbf {A}〜B] \） 、\（[する\ mathbf {R}〜e_m] \ ） 一致していない、我々が得ることができる\（[\ mathbf {R} 〜e_m] \） 一致していない、との\ mathbf {R＆LT ^ M}内の\（\ VEC B \ \） 、前提と（b）の仮定に反しては、（C）、つまり、保持していない事実である、（b）は\（\ RIGHTARROW \）（c）が証明されました
（2）（C）（\ \ RIGHTARROW \）（B）
（C）から見た\（[\ mathbf {A}〜B] \）の\（[\ mathbf {R} 〜C] \） の後に、\（[\ mathbf {R} 〜C] \）が唯一存在しません最後の列の行の非零要素がある、1.5の前の定理から、\（\ mathbf {A} B = X \）は一貫性である、すなわち、（b）の確立を、（B）\（\ RIGHTARROW \）（C）証明しました。
要約すると、（B）\（\ Longleftrightarrow \）（C）
\（[1〜-1] ^ {T}、[0〜1] ^ {T} \） 張よい\（\ R＆LT mathcal {} ^ 2 \）、さらに$ [1〜-1] ^ { T }、[〜0.1] ^ {T}、[2〜3] T ^ {} \（SPANできる\） \ R＆LT mathcal {} ^ 2 \（、それは有限集合の最小値を与える方法\） \ mathcal {S} $、そのようなスパンその\（\ mathcal {S} = \ mathcal {R＆LT} ^ m個の\） 、それが最小でない場合、\（\ mathcal {S} \）過剰ベクトル\（〜\ VEC V 〜\）自然は何ですか。
定理1.7
ましょう\（\ mathcal {S} = \ lbrace \ VEC U_1、\ cdots、\ VEC u_n \ rbrace \）は、ことを証明
\ [スパン〜\ lbrace \ VEC U_1、\ cdots、\ VEC u_n \ rbrace =スパン〜\ lbrace \ VEC U_1、\ cdots、\ VEC u_n、\ VEC V \ rbrace \ Longleftrightarrow \ VEC V \スパンで〜\ mathcal {S} \]
プルーフ：
充足：
（VEC U_1、\ cdots、\ VEC U_n、\ VEC V \のrbraceの\ \スパンで\ VEC V \〜\ lbrace）\、および\（スパン〜\ lbrace \ VEC U_1 、\ cdots、\ VEC U_n \ rbrace =スパン〜\ lbrace \ VEC U_1、\ cdots、\ VEC U_n、\ VEC V \ rbraceの\）がある\（\スパンでVECのV \ 〜\ lbrace \ VEC U_1、\ cdots、\ \）VEC U_n \ rbraceスパン〜=〜\ mathcal {S} 、妥当性が証明されました。
要：
（〜スパンの\ mathcal {S}で\ VEC V \〜\）\次いで\（\ VECのV \）は集合S内のベクトルの線形結合であり、設定したいかもしれ
= C_1 \ \ [\ VEC V VEC U_1を+ C_2 \ VEC U_2 + \ cdots
+ C_N \ VEC u_n \] スパン{ \（\ mathcal {S} \カップ{\ VEC V} \） }の任意の1つのベクトルに\（\ VEC \アルファ= L_1 VEC \ U_1 + L_2 \ VEC U_2 + \ cdots + L_n \ VEC U_n + C_1および\ VEC U_1 + C_2 \ VEC U_2 + \ cdots + C_N \ VEC U_n \）、利用可能な仕上げ
\ [\ VEC \アルファ=（ L_1 + C_1）を\ VEC U_1 +（L_2 + C_2
）\ VEC U_2 + \ cdots +（l_n + C_N）\ VEC u_n \内〜スパン〜\ mathcal {S} \] すなわちスパン{ \（\ mathcal {S} \カップ{\ V} VEC \） } \（\サブセット\）スパン\（\ mathcal {S} \） 、一方、スパン\（\ mathcal {S} \） \（\サブセット\）スパン{ \（\ mathcal { S} \カップ{\ VEC V } \）}明らかであり、したがって、スパン\（\ mathcal {S} \） =スパン{ \（\ mathcal {S} \ {カップ\ VEC V} \） }、必要性が証明されています。
リマーク
ランク溶液と係数行列式\（ランク（\ mathbf {A }）\） と拡大行列のランク\（ランク（[\ mathbf { A}〜B]）\） の関係
セット\（ランク（\ mathbf {A }）= M、ランク（[\ mathbf {A}〜B]）= N、\ mathbf {A} \） の列の数である\（K〜\） 。
（1）N> M線形方程式が解を持たない（存在\（0a_1 + \ cdotsの0a_n = D + \ NEQ 0 \） ）
（2）N = M解ける線形方程式、1 N = M =ユニークな非ゼロの溶液K 2、N = M <K多数のソリューション
場合\（〜B = 0〜\ ） 場合、\（\ mathbf {A} B = X \ RIGHTARROW \ mathbf {A} = 0、Xが\）均質線形方程式、少なくともゼロ溶液です。
（1）N <K線形方程式の多数のソリューション
（2）のn = k個の線形方程式は一意溶液ゼロを有します
問題
（1）マトリックス\（\ mathbf {A} \ ） 最も単純なステップ型マトリックス行に一次変換後の\（\ R＆LT mathbf {} \）を設け\（\ mathcal {A}は\ ） で表されます。\（\ mathbf {A} \ ） を設定行ベクトル組成、\（\ mathcal {R＆LT} \）で表される（\ mathbf {R} \） 、\ 組成の行ベクトルの集合、ある
スパンは[\ 〜\ mathcal {A} =スパン 〜\ mathcal {R} \] $ \ qquad（スパン〜\ lbrace \ VEC U_1、VEC U_2 \、\ cdots、\ VEC u_n \ rbrace =スパン〜\ mathcal {A}）$ \]
証明：簡単にするために、我々は最初の基本変換がで起こる考える\（\ mathbf {A} \ ） 第一および第二の線の間の
ケースI：マトリックス\（\ mathcal {A}は\ ） が発生交換ラインが
されています明らかに、要素からなる行ベクトルの集合を交換した後、それはスパン変更されない、変更されない
場合IIを：行列はスカラーk個の乗算され、\（\ mathcal {A} \ ） 最初の行を（\（K \ NEQ 0 \） ）
\ [\ FORALL \アルファ\スパン内〜\ mathcal {A} \ RIGHTARROW \アルファ= C_1および\ VEC U_1 + C_2 VEC U_2 \ + \ cdots + C_N \ VEC U_n = \ dfrac { C_1} {K} K \ VEC U_1 + C_2 \ VEC U_2 + \ cdots + C_N \ VEC u_n \スパンで\ lbrace K \ VEC U_1、U_2 VEC \ \ cdots、\ VEC u_n \ rbrace \\ \ \アルファFORALL \スパンで\ lbrace K \ VEC U_1、VEC U_2 \、\ cdots、\ VEC u_n \ rbrace \ RIGHTARROW \アルファ= M_1 K \ VEC U_1 + \ cdots + m_n \ VEC u_n \スパン内〜\ mathcal {A} \ ]
我々は得ることができます
\ [〜スパン\ mathcal {A} \ Longleftrightarrowスパン〜\ lbrace K \ VEC U_1、\ U_2 VEC、\ cdots、\ VEC U_n \ rbrace \]
ケースIII：マトリックス\（\ mathbf {A} \ ） 第それはKスカラーによって行後の第2行に適用される
\ [mathcal {A} \〜で\ FORALL \アルファ\スパン\ RIGHTARROW \アルファ= C_1および\ U_1 VEC + C_2 \ U_2 VEC + \ + cdots C_N \ VEC = U_n （C_1-c_2k）VEC U_1 \ + C_2（+ \ VEC U_2 VEC U_1 \ K）+ \ cdots + C_N \ VEC u_n \スパンで\ lbrace \ VEC U_1、VEC U_1 \ VEC U_2 + K \ \ cdots、\ VEC u_n \ rbrace \\ \ \ FORALLスパンにおけるアルファ\ \ lbrace \ VEC U_1、VEC U_1 \ VEC U_2 + K \ \ cdots、\ VEC u_n \ rbrace \ RIGHTARROW \アルファ=（M_1 + km_2）VEC U_1 + \ \ cdots + m_n \ VEC u_n \スパン内〜\ mathcal {A} \]
我々は得ることができ
\ [スパン〜\ mathcal {A
} \ Longleftrightarrowスパン〜\ lbrace \ VEC U_1、\ VEC U_2 + K \ VEC U_1、\ cdots、\ VEC u_n \ rbrace \] 即ちマトリックス\（\ mathbf {A} \）のいくつかの一次変換行列の後に\（\ mathbf {B} \ ） している（〜スパンの\ mathcal {A} \〜Longleftrightarrowスパンの\ mathcal {B} \）\など、我々が得ることができる
[\スパン〜\ mathcal {A} \ Longleftrightarrowスパン〜\ mathcal {R＆LT} \]
（2）のタイトル（\ \ mathbf {A} \ ） の列ベクトルと\（\ mathbf {R} \ ） の列ベクトルスペースは同等で張らか
否、反例\（A = \左[\開始{アレイ} {LL} {1}と{0} \\ {1}と{0} \端{アレイ} \右] \）、 \（R = \左の[\ {アレイ} {LL} {1}始める＆{0} \\ {0}＆{0} \端{アレイ} \右] \）