逆行列は、線形代数における非常に重要な概念です。次のような基本的な性質があります:
1. 可逆行列は正方行列でなければなりません: 行列が可逆である場合、それは正方行列でなければなりません。つまり、行数と列数が等しいということです。
2. 逆行列の一意性: 行列 \( A \) が可逆であれば、その逆行列 \( A^{-1} \) は一意です。これは、同じ数値フィールド内に、単位行列 \( I \) となる \( A \) を乗算した 2 つの異なる逆行列は存在しないことを意味します。
3. 逆行列の逆行列は元の行列のままです。可逆行列 \( A \) の場合、その逆行列 \( A^{-1} \) の逆行列も \( A \) です。 、つまり \( (A ^{-1})^{-1} = A \) です。
4. 可逆行列は転置後も可逆です。行列 \( A \) が可逆であれば、その転置行列 \( A^T \) も可逆であり、\( (A^T)^{- 1} = (A^{-1})^T \)。
5. 消去法: 行列 \( A \) が可逆である場合、任意の行列 \( B \) および \( C \) について、 \( AB = C \) であれば、 \( B = C \cdot A ^ {-1} \)。同様に、 \( BA = C \) の場合、 \( A = C \cdot B^{-1} \) になります。
6. 2 つの可逆行列の積は依然として可逆です。行列 \( A \) と \( B \) が両方とも可逆である場合、その積 \( AB \) も可逆です。
7. 可逆行列の行列式はゼロではありません: 行列が可逆であるための必要十分条件は、その行列式がゼロではないことです。行列 \( A \) \( \det(A) \neq 0 \) の行列式の場合、 \( A \) は可逆です。
8. 可逆行列のランクはその次数に等しい: 可逆行列のランクはその行 (または列) の数に等しい。つまり、そのすべての行 (または列) は線形独立である。
これらの特性は、一次方程式などの問題の解決、行列の逆行列の計算、行列の因数分解の実行において非常に重要な用途があります。これらは線形代数において不可欠なツールであり、行列理論とその応用を理解するために非常に重要です。
