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序文
ソフトウェア開発と比較して、人工知能の分野では多くの数学的知識が必要です。主に微積分、線形代数、確率論、最適化がカバーされます。
この記事では線形代数の基礎を中心に紹介します。
この記事は、主に私自身が過去を振り返り、これから新しいことを学ぶための人工知能学習の備忘録としての役割を果たしており、ここで整理することが第二の勉強ということになります。お役に立てて光栄です。もし間違っていたら、修正を歓迎します。侵害がある場合は、作者に連絡して削除してください。
1. ベクトルとその演算
ベクトルは線形代数の最も基本的な概念です。実際には N 個の数値で構成される 1 次元の配列です。X
= (X1 X2 . . Xn)
ベクトルの幾何学的意味は空間内の点であり、物理的意味は速度ですベクトル、
ベクトルの構成要素は次元と呼ばれ、n 次元ベクトルの集合全体が n 次元ユークリッド空間を構成します。
1.2 行ベクトルと列ベクトル
行ベクトルはベクトルを行ごとに配置し、列ベクトルはベクトルを列ごとに配置します。
数学では、より多くのデータを列ベクトルとして書き込み、プログラミング言語では、より多くのデータを行ベクトルとして保存します。
1.3 ベクトル演算
ベクトル演算には主に、加算、乗算、減算、内積、転置が含まれます。それらを 1 つずつリストしてみましょう。
1.3.1 ベクトルの加算と減算
それらに等しいコンポーネントは別々に加算されます。当然、2 つのベクトルの長さは等しくなければなりません。ここでは減算についてはリストしませんが、1 つのインスタンスから他のケースを推測するのは簡単です。
1.3.2 ベクトルの乗算
これは数値であり、このベクトルの各成分が乗算されます。
1.3.3 トランスポーズ
列ベクトルを行ベクトルに変換し、行ベクトルを列ベクトルに変換します。
1.3.4 アルゴリズム
A+B+C=A+(B+C)
K*(X+Y)=KX+KY
1.3.5 ベクトルの内積
2 つの列ベクトル:
対応する位置の乗算と加算に等しい
2 つのベクトルの内積の本質は、スカラーになることです
1.4 ベクトルのノルム
ノルムの式は、ベクトルの各成分の絶対値を P 乗し、べき乗関数を使用して P の一部を計算します。ここで、P は 1、2、3
... から正の無限大までの整数でなければなりません。ベクトルのノルムはベクトル
をスカラーに変換することであり、ノルムの式は 2 本の垂直線で表され、右下隅に P を書き込みます。
- ノルムは絶対値の和であり、1次ノルムはL1と書きます。
- ノルムは二乗と根号の和です. 実際にはベクトルの長さを表します. 高校で習ったベクトルの係数です. 2 ノルムを後で L2 ノルムとして書くと非常に便利です
.後で通常の用語について話すときに使用されます。
1.5 特殊なベクトル
1.5.1 ゼロベクトル
すべてゼロ成分(0 0 . . 0)を持つベクトルです。
1.5.2 単位ベクトル
L2 ノルム/モジュラス/長さ 1 のベクトルです
2. 行列とその演算
行列は 2 次元配列です。m 行 n 列の行列です。m 行と n 列があります。各行と列には要素があります。各要素には行ラベル i と列ラベルがあります。 j、ij
2.1 正方行列、対称行列、単位行列、対角行列
2.1.1 正方行列
正方行列: 以下にいくつかの特殊な行列を紹介します。m が n に等しい場合、それは正方行列と呼ばれます。
2.1.2 対称行列
対称行列: 定義は、ijがjiに等しい場合、それは対称行列であり、正方行列でなければなりません。
2.1.3 恒等行列
単位行列: 主対角はすべて 1 で、他の位置は 0 です。これは単位行列と呼ばれます。単位行列は I と書きます。これは正方行列でなければなりません。数値の 1 に相当します。
2.1.4 対角行列
対角行列: 主対角は非ゼロであり、他の位置は 0
2.2 マトリックスの演算
2.2.1 行列の加算と減算
行列の加算は行列の対応する位置の加算であり、減算も同様で対応する位置の減算です。
2.2.2 乗算
行列に対する非常に特殊な演算もあります
2.2.3 トランスポーズ
転置の操作はベクトルの操作と同じで、aij を aji に変更し、行と列を入れ替えます。
2.2.4 行列の乗算
行列の乗算は一般的な乗算とは異なります。最初の行列の各行と 2 番目の行列の各列で内積を計算し、分配法則、結合法則、および交換法則A+
を満たす結果を取得します。B+C=A+(B+C)加算が満たされる必要があります。乗算に注目してください。まず、乗算は結合法則(AB) を満たします。 C=A(BC) は分配法則を満たします。 ここに左の分配法則と右の分配法則があります( A+B)C=AC+BC A(B+C)=AB+AC は、 AB のサイズが BA、 ABのサイズと異なる場合でも、行列が交換法則を満たさず、必ずしも等しいとは限らないことを特に強調します。≠ BA 特別な転置式があります
2.3 逆行列
行列にはABはありますが、A/Bは存在しない、つまり逆行列しかないのですが、
逆行列はどのように定義されているのでしょうか？
行列 A があるとします。行列 A は正方行列でなければならないことに注意してください。行列 B を掛けた値は I に等しいです。AB
=I
または
BA=I I
は単位行列です。ここでは B を A の右逆行列と呼びます。左の逆行列は
A 非常に重要な結論は、そのような B が存在する場合、その左の逆行列と右の逆行列は等しくなければならないということです。総称して A と呼ばれる -1 行列
を反転することは何の役に立つでしょうか 線形方程式を解くのに役立ちます。たとえば、AZ=B に
A の逆数を同時に掛けると、Z=A の -1 に B が掛けられます。そのようなことを行うことも発明の目的です。
ここから、単位行列が乗算の 1 に似ていることもわかります。
式を見てみましょう。
2.4 決定要因
実は行列式は機械学習ではあまり使われません｡行列式を計算するには行列は正方行列でなければなりません｡行列式とは行列をスカラーに変える計算方法です｡以下で行列式を見てみましょう
｡
もちろん、これは正方行列で言えば α を掛けた数です
。これは、α の n 乗に A の行列式を掛けるのと同じです。なぜなら、先ほどの計算方法を見たとき、これは次と等価だからです。各列に α を掛けます。n 次ですか?
要約する
以上が今日のお話ですが、この記事では大学数学の中でも比較的基礎的な知識に属する線形代数の基礎知識を簡単に紹介するだけにし、線形代数の高度な知識については後ほど説明していきます。