HDU - 1576 A/B 乘法逆元 扩展欧几里得 快速幂 模板

GDUT 2020寒假训练 数论 C

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• HDU - 1576 A/B
• C - A/B

题目

Problem Description
要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

Input
数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

Output
对应每组数据输出(A/B)%9973。

样例

input

2
1000 53
87 123456789

output
7922
6060

思路

扩展欧几里得求乘法逆元
对于 $(a/b) mod p$，设 ${\exist} x$ 满足 $(a{\times}x)\ mod\ p=(a/b)\ mod\ p$那么x也就是b在mod p意义下的倒数，也就是我们要找的b的逆元，即 $x {\equiv}{\frac{1}{b}}(mod\ p)$
那么将这个同余方程展开可得 $x\ +\ py\ =\ {\frac{1}{b}}$
即 $bx\ +\ py\ =\ 1$这个形式就和扩展欧几里得的形式相似了，那么注意到p为质数也就是bp互质即 $gcd(b,p)\ =\ 1$那么现在这个形式就和拓展欧几里得的表达式一样了，利用拓展欧几里得计算exgcd（b,p,x,y,）最后的x就是b的逆元

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	long long d=exgcd(b,a%b,x,y);
	long long temp=x;
	x=y;
	y=temp-(a/b)*y;
	return d;
}

int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		long long n,b,x,y;
		cin>>n>>b;
		exgcd(b,9973,x,y);//x为b的逆元  
		x+=9973;
		x%=9973;
		cout<<(n*x)%9973<<endl;
	} 

	
	return 0;
}

快速幂求乘法逆元

由费马小定理

假如a是一个整数，p是一个质数，那么 $a^p\ -\ p$ 是p的倍数，表示为 $a^p\ {\equiv}\ a\ (mod\ p)$

将表达式转换一下可以得到 $a^{p-1}\ {\equiv}\ 1\ (mod\ p)$
即 $a{\times}a^{p-2}\ {\equiv}\ 1\ (mod\ p)$
也就是 $a^{p-2}$是 $a$的逆元，那么就可以通过快速幂求a的逆元了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
long long power(long long a,long long b,long long mod)
{
	long long ans=1%mod;
	for(;b;b>>=1)
	{
		if(b&1)
		{
			ans=ans*a%mod;
		}
		a=a*a%mod;
	}
	
	return ans;
}
int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while(T--)
	{
		long long n,b,x;
		cin>>n>>b; 
		x=power(b,9973-2,9973);
		//x+=9973;
		//x%=9973;
		cout<<(n*x)%9973<<endl;
		
	} 
	
	return 0;
}