高等数学学习笔记 (手动置顶)

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持续更(gū)新(gū)中~

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偏导数

导数 $f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=\frac{df}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

偏导数（其中 $f(x,y)$表示 $f$与 $x,y$有关） $\partial_xf=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

其实就是选了个主元

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微分与偏微分

微分 $df(x)=f'(x)\times dx$

意义：函数值改变量
偏微分 $\partial f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\times dx+\frac{\partial f}{\partial y}\times dy$

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约束条件下求函数极值

拉格朗日乘数法

已知 $f(x,y)$，其中 $x,y$满足约束条件 $ax+by+c=0$（这里只是一个例子），求 $f$的极值

构造 $F(x,y)=f(x,y)+\lambda(ax+by+c)$

很明显 $F$与 $f$性质相同
对 $x,y,\lambda$分别求偏导数，发现 $\frac{\partial F}{\partial \lambda}=0$

依据另外两个偏导数，取极值，可以得到两个方程，方程可解，极限可求

该方法适用于任意多元函数、任意条约束条件