函数
函数的几种特性
函数的有界性
设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\),数集 \(X \subset D\).如果存在数 \(K_1\) ,使得\[f(x)\leq k_1\]对任一 \(x\in X\) 都成立,那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有上界,而 \(K_1\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个上界.
同理,如果存在数 \(K_2\),使得\[f(x)\geq k_2\]对任一 \(x\in X\) 都成立,那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有下界,而 \(K_2\) 称为函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个下界.
如果存在正数 \(M\),使得\[|f(x)|\leq M\]对任一 \(x\in X\) 都成立,那么称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有界.如果这样的 \(M\) 不存在,就称函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上无界.
容易证明,函数 \(f(x)\) 在 \(X\) 上有界的充分必要条件是它在 \(X\) 上既有上界又有下界.
函数的单调性
设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(D\),区间 \(I\subset D\),如果对于区间 \(I\) 上任意两点 \(x_1\) 和 \(x_2\),当 \(x_1<x_2\),\[f(x_1)>f(x_2)\]恒成立,那么称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上单调上升的.
同理,如果对于区间 \(I\) 上任意两点 \(x_1\) 和 \(x_2\),当 \(x_1<x_2\),\[f(x_1)<f(x_2)\]恒成立,那么称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上单调减少的.
单调递增和单调减少的函数称为单调函数.
函数的奇偶性
设函数 \(f(x)\) 的定义域 \(D\) 关于原点对称.如果对于任一 \(x\in D\),\[f(-x)=f(x)\]恒成立,那么称 \(f(x)\) 为偶函数.
如果对于任一 \(x\in D\),\[f(-x)=-f(x)\]恒成立,那么称 \(f(x)\) 为奇函数.
函数的周期性
设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\).如果存在一个正数 \(l\),使得对任一 \(x\in D\) 有(\(x\pm l\))\(\in D\),且\[f(x+l)=f(x)\]恒成立,那么称函数 \(f(x)\) 为周期函数,\(l\) 称为 \(f(x)\) 的周期,通常说周期函数的周期是指最小正周期.
反函数和复合函数
作为逆映射的特例,我们有以下反函数的概念:
设函数 \(f:D\to f(D)\) 是单射,则它存在逆映射 \(f^{-1}:f(D)\to D\),称此映射 \(f^{-1}\) 为函数 \(f(x)\) 的反函数.
按此定义,对于每个 \(y\in f(D)\),有唯一的 \(x\in D\),使得 \(f(x)=y\),于是有\[f^{-1}(y)=x.\]这就是说,反函数 \(f^{-1}\) 的对应法则是完全由函数 \(f\) 的对于法则所确定的.