函数的极限
无穷大
定理2
自变量的同一变化过程中,如果 \(f(x)\) 为无穷大,那么 \(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷小;反之 \(f(x)\) 为无穷小,且 \(f(x)\not=0\),那么 \(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷大.
证:设 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\).
\(\forall \varepsilon>0\).根据无穷大的定义,对于 \(M=\frac{1}{\varepsilon}\),\(\exists\ \delta>0\),当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时,有$$|f(x)|>M=\frac{1}{\varepsilon},$$$$|\frac{1}{f(x)}<\varepsilon|,$$所以 \(\frac{1}{f(x)}\) 为当 \(x\to x_0\) 时的无穷小.
运用类似方法也可以证明无穷大的情形.
极限运算法则
下面的讨论中,记号 \(\lim\) 下面没有标明自变量的变化过程,实际上,下面的定理对 \(x\to x_0\) 和 \(x\to\infty\) 都是成立的,在证明时,只证明 \(x\to x_0\) 的情况,只要把 \(\delta\) 改成 \(X\),把 \(0<|x-x_0|<\delta\) 改成 \(|x|>X\),就可以得到 \(x\to\infty\) 时的证明.
定理1
两个无限小的和是无限小.
证:设 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是当 \(x\to x_0\) 时的两个无限小,而$$\gamma=\alpha+\beta.$$
\(\forall\varepsilon>0\).因为 \(\alpha\) 是 \(x\to x_0\) 时的无限小,对于 \(\frac{\varepsilon}{2}>0\),\(\exists\ \delta_1>0\),当 \(0<|x-x_0|<\delta_1\) 时,不等式$$|\alpha|<\frac{\varepsilon}{2}$$成立.又因 \(\beta\) 是当 \(x\to x_0\) 时的无穷小,对于 \(\frac{\varepsilon}{2}\),\(\exists\ \delta_2>0\),当 \(0<|x-x_0|<\delta_2\) 时,不等式$$|\beta|<\frac{\varepsilon}{2}$$成立.取 \(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\),则当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时,$$|\alpha|<\frac{\varepsilon}{2},$$$$|\beta|<\frac{\varepsilon}{2}$$同时成立,从而 \(|\gamma|=|\alpha+\beta|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\),这就证明了 \(\gamma\) 也是 \(x\to x_0\) 时 的无限小.
通过数学归纳法可证明:优先个无限小之和也是无限小.
定理2
有界函数与无限小的乘积也是无限小.
设函数 \(u\) 在 \(x_0\) 的某一去心邻域 \(\mathring{U}(x_0,\delta_1)\) 内是有界的,即 \(\exists\ M>0\) 使得 \(|u|\leq M\) 对一切 \(x\in\mathring{U}(x_0,\delta_1)\) 成立.又设 \(\alpha\) 是当 \(x\to x_0\) 时的无限小,即 \(\forall \varepsilon>0\),\(\exists\ \delta_2>0\),当 \(x\in\mathring{U}(x_0,\delta_1)\) 时,有$$|\alpha|<\frac{\varepsilon}{M}.$$取 \(\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}\),则当 \(x\in\mathring{U}(x_0,\delta_1)\) 时,$$|u|\leq M$$和$$|\alpha|<\frac{\varepsilon}{M}$$同时成立.从而 $$|u\alpha|=|u|\times|\alpha|<M*\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon,$$这就证明了 \(u\alpha\) 是当 \(x\to x_0\) 时的无限小.
推论1:常数与无限小的乘积是无限小.
推论2:有限个无限小的乘积是无限小.