「高等数学学习笔记 DAY20」

函数的连续性与间断点

函数的间断点

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某去心邻域内有定义.在此前提下,如果函数 \(f(x)\) 有下列三种情形之一:

1. 在 \(x=x_0\) 没有定义;
2. 虽然在 \(x=x_0\) 有定义,但 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 不存在;
3. 虽然在 \(x=x_0\) 有定义,且 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\) 存在,但 \(\lim_{x\to x_0}f(x)\not=f(x_0)\),

那么函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 为不连续,而 \(x_0\) 称为函数 \(f(x)\) 的不连续点或间断点.

下面有函数间断点的几种常见类型:

无穷间断点,震荡间断点,可去间断点,跳跃间断点.

通常把间断点分成两类:如果 \(x_0\) 是函数 \(f(x)\) 的间断点,但左极限 \(f(x_0^-)\) 和 右极限 \(f(x_0^+)\) 都存在,那么 \(x_0\) 称为函数 \(f(x)\) 的第一类间断点,其他的称为第二类间断点.第一类间断点中左右极限相等这称为可去间断点,不相等这称为跳跃间断点,无穷间断点和震荡间断点显然是第二类间断点.