数列的极限
数列极限的定义
极限的概念是在探求实际问题的精确解答中诞生的(如割圆法).
以割圆法为例,设有一圆,首先做其内正六边形,把它的面积记为 \(A_1\);再作其内接正十二边形,其z面积记为 \(A_2\);再作其内接正二十四边形,其面积记为 \(A_3\);如此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正 \(6\times 2^{n-1}\) 边形的面积记为 \(A_n (n\in\mathbb{N}_+)\),这样就得到一系列正多边形的面积\[A_1,A_2,A_3,\cdots,A_n,\cdots,\]它们构成一列有次序的数.当 \(n\) 越大,正多边形和圆的差别就越小,从而以 \(A_n\) 作为圆面积的近似值也越精确.但无论 \(n\) 取如何大,只要 \(n\) 确定了,\(A_n\) 终究只是多边形的面积,而还不是圆的面积.因此,设想 \(n\) 无限增大(记为 \(n\to \infty\),读作 \(n\) 趋近于无穷大),即内接正多边形的边数无限增加,同时 \(A_n\) 也无限接近某个确定的数值,这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数(所谓序列)\(A_1,A-2,A-3,\cdots,A_n,\cdots\)当 \(n\to \infty\) 时的极限.在圆面积这个问题中我们看到,正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积.
在解决实际问题中逐渐形成这种极限方法,已成为高等数学中的一种基本方法,因此有必要作进一步的阐明.
先说明数列的概念.如果如果按照某一法则,对每个 \(n\in \mathbb{N}_+\),对应着一个确定的实数 \(x_n\),这些实数 \(x_n\) 按照下标 \(n\) 从小到大排列得到的一个序列\[x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,\cdots\]就叫做数列,简记数列 \(\{x_n\}\).
数列中的每个数叫做叫做数列的项,第 \(n\) 项 \(x_n\) 叫做数列的一般项(或通项).
对于我们要讨论的问题来说,重要的是:当 \(n\) 无限增大时,对应的 \(x_n=f(x)\) 是否能无限接近于某个确定的数值?如果能够的话,这个数值等于多少?
(作者是在是懒,就直接用书中的例题了)
我们对数列\[2,\frac{1}{2},\frac{4}{3},\cdots,\frac{n+(-1)^{n-1}}{n},\cdots\]进行分析.在这个数列中\[x_n=\frac{n+(-1)^{n-1}}{n}=1+\frac{1}{n}(-1)^{n-1}.\]从绝对值的角度考虑,\(|a-b|\) 越小,说明 \(a\) 与 \(b\) 越接近\[|x_n-1|=|\frac{1}{n}(-1)^{n-1}|,\]可以发现当 \(n\) 越来越大时,\(\frac{1}{n}\) 越来越小,从而 \(x_n\) 就越来越接近于 \(1\),因为只要 \(n\) 足够大,\(|x_n-1|\) 可以小于任意给定的正数,所以说当 \(n\) 无限增大时,\(x_n\) 无限接近于 \(1\).例如,给定 \(\frac{1}{a}\)(\(a\in \mathbb{N}_+\)),如果想要 \(|x_n-1|<\frac{1}{a}\),只要 \(n>a\),即从第 \(a+1\) 项开始,都能使不等式成立.一般地,不论给定的正数 \(\varepsilon\) 多么小,总存在一个正整数 \(N\),使得当 \(n>N\) 时,不等式\[|x_n-1|<\varepsilon\]都成立.这就是数列 \(x_n=\frac{n+{-1}^{n-1}}{n}\)(\(n=1,2,\cdots\))当 \(n\to \infty\) 时无限接近于 \(1\) 这件事的实质.这样的一个数 \(1\),叫做数列 \(x_n=\frac{n+{-1}^{n-1}}{n}\)(\(n=1,2,\cdots\))当 \(x\to \infty\) 时的极限.
一般地,有乳腺数列的极限的定义:
设 \(\{x_n\}\) 为一个数列,如果存在常数 \(a\) 对于任意给定的正数 \(\varepsilon\)(不论它多么小),总存在正整数 \(N\),使得 \(n>N\) 时,不等式\[|x_n-a|<\varepsilon\]都成立,那么就称常数 \(a\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的极限,或者数列 \(x_n\) 收敛域 \(a\),记为\[\lim_{n\to\infty}x_n=a,\]或\[x_n\to a(n\to \infty).\]
如果不存在这样的常数 \(a\),就说明 \(\{x_n\}\) 没有极限,或者说数列 \(\{x_n\}\) 是发散的,习惯上也说 \(\lim_{n\to \infty}\) 不存在.
上面定义中的正数 \(\varepsilon\) 可以任意给定是很重要的,因为是有是有这样,不等式 \(|x_n-a|<\varepsilon\) 才能表达出 \(x_n\) 与 \(a\) 无限接近的意思.此外还应注意到:定义中的正整数 \(N\) 是与给定的正数 \(\varepsilon\) 有关的,它随 \(\varepsilon\) 的给定而选定.
关于"数列 \(\{x_n\}\) 的极限为 \(a\)"的几何解释这里不展开,有兴趣可以看看这里.
为了表达方便,引入记号"\(\forall\)"表示"对于任意给定的"或"对于每一个",记号"\(\exists\)"表示"存在".相关用法和含义可以看看这里和这里.数列极限 \(\lim_{n\to \infty}=a\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\),\(\exists\) 正整数 \(N\),当 \(n>N\) 时,有 \(|x_n-a|<\varepsilon.\)
数列极限的定义并未直接提供如何去求数列的极限的方法,以后要将极限的求法.