极限的运算法则
定理3
如果 \(\lim f(x)=A\),\(\lim g(x)=B\),那么
- \(\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A+B\);
- \(\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B\);
- 若又有 \(B\not=0\),则$$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}.$$
证:(感觉比较显然,但是书上面的证明过于麻烦,可以自己想一下证明方法)
推论1:如果 \(\lim f(x)\) 存在,而 \(c\) 为常数,那么$$\lim[c f(x)]=c\lim f(x).$$
推论2:如果 \(\lim f(x)\) 存在,而 \(n\) 是正整数,那么$$\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$$
定理4
设有数列 \(\{x_n\}\) 和 \(\{y_n\}\).如果$$\lim_{x\to\infty}x_n=A,\lim_{x\to\infty}y_n=B,$$那么
- \(\lim_{x\to\infty}(x_n\pm y_n)=A+B\);
- \(\lim_{x\to\infty}(x_n\cdot y_n)=A\cdot B\);
- 当 \(y_n\not=0(n=1,2,\dots)\) 且 \(B\not=0\) 时,\(\lim_{x\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}\).
定理5
**如果 \(g(X)\geq f(x)\),而 \(\lim g(x)=A,\lim f(x)=B\),那么 \(A\geq B\).