无穷小的比较
关于两个无穷小的商会出现不同情况,如,当 \(x\to 0\) 时,\(3x,x^2,\sin x\) 都是无穷小,而$$\lim_{x\to 0}\frac{x2}{3x}=0,\lim_{x\to0}\frac{3x}{x2}=\infty,\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{3x}=\frac{1}{3}.$$两个无穷小之比的极限各有不同的情况反映了不同无穷小趋近于零的"快慢"程度.就上面的例子来说,在 \(x\to0\) 的过程中,\(x^2\to 0\) 比 \(3x\to0\)"快".,而 \(\sin x\to0\) 和 \(3x\to0\)"快慢相仿".
下面,我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时,来说明两个无穷小之间的比较.应当注意,下面的 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小,且 \(\alpha\not=0\),\(\lim\frac{\beta}{\alpha}\) 也是在这个变化过程中的极限.
定义
如果 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=0\),那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高价的无穷小,记作 \(\beta=o(\alpha)\);
如果 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=\infty\),那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 低价的无穷小;
如果 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=c\not=0\),那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 同价的无穷小;
如果 \(\lim\frac{\beta}{\alpha^k}=c\not=0,k>0\),那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) \(k\) 价的无穷小;
如果 \(\lim\frac{\beta}{\alpha}=1\),那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 等价的无穷小,记作 \(\alpha\sim\beta\).
显然,等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形,即 \(c=1\) 的情形.
下面举一个例子:
因为 \(\lim_{x\to0}\frac{3x^2}{x}=0\),所以当 \(x\to0\) 时,\(3x^2\) 是比 \(x\) 高阶的无穷小,即$$3x^2=o(x)(x\to0).$$
因为 \(\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}=\infty\),\(\frac{1}{n}\) 是比 \(\frac{1}{n^2}\) 低阶的无穷小.
因为 \(\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=6\),所以当 \(x\to 3\) 时,\(x^3-9\) 和 \(x-3\) 是同阶无穷小.
因为 \(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\),所以当 \(x\to 0\) 时,\(1-\cos x\) 是关于 \(x\) 的二阶无穷小.
因为 \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\),所以当 \(x\to0\) 时,\(\sin x\) 和 \(x\) 是等价无穷小,即$$\sin x\sim x(x\to0).$$