数列的极限
收敛数列的性质
定义1(极限的唯一性)
如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛,那么它的极限唯一.
证:用反证法,假设数列 \(\{x_n\}\) 同时有 \(x_n\to a\) 和 \(x_n\to b\),且 \(a<b\).取 \(\varepsilon=\frac{b-a}{2}\).
因为 \(\lim_{n\to\infty} x_n=a\),所以 \(\exists\) 正整数 \(N_1\),当 \(n>N_1\) 时,不等式\[|x_n-a|<\frac{b-a}{2}\]都成立.
同理,因为 \(\lim_{n\to\infty} x_n=b\),所以 \(\exists\) 正整数 \(N_2\),当 \(n>N_2\) 时,不等式\[|x_n-b|<\frac{b-a}{2}\]都成立.
取 \(N=\max\{N_1,N_2\}\),则当 \(n>N\) 时上面两式同时成立,但是从两式中可以得到 \(x_n<\frac{b-a}{2}\) 和 \(x_n>\frac{b-a}{2}\)(这里可能比较玄学,请自行理解一下),这是不可能的,所以就证明了本定义.
定理2(收敛数列的有界性)
如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛,那么数列 \(\{x_n\}\) 一定有界.
证:因为数列 \(\{x_n\}\) 收敛,设 \(\lim_{n\to \infty}x_n=a\),根据数列的极限的定义,对于 \(\varepsilon=1\),\(\exists\) 正整数 \(N\),当 \(n>N\) 时,不等式\[|x_n-a|<1\]都成立.于是,当 \(n>N\) 时,\[|x_n|=|(x_n-a)+a|\leq |x_n-a|+|a|<1+|a|.\]取 \(M=\max\{|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_N|,1+|a|\}\),那么数列 \(\{x_n\}\) 中的一切 \(x_n\) 都满足不等式\[|x_n|\leq M.\]就证明了 \(\{x_n\}\) 是有界的.
但是要注意,如果一个数列是有界的,它未必就一定是收敛的.
定理3(收敛数列的保号性)
如果 \(\lim_{n\to \infty}=a\),且 \(a>0\)(或 \(a<0\)),那么存在正整数 \(N\),当 \(n>N\) 时,都有 \(x_n>0\)(或 \(x_n<0\)).
证:就 \(a>0\) 的情形证明.由数列的极限的定义,对 \(\varepsilon=\frac{a}{2}>0\),\(\exists\) 正整数 \(N\),当 \(n>N\) 时,有\[|x_n-a|<\frac{a}{2},\]从而\[x_n>a-\frac{a}{2}=\frac{a}{2}>0.\]
推论:如果数列 \(\{x_n\}\) 从某项起有 \(x_n\geq 0\)(或 \(x_n\leq 0\)),且 \(\lim_{n\to\infty}x_n=a\),那么 \(a\geq 0\)(或 \(a\leq 0\)).
具体证明略,可以看看这里.
定理4(收敛数列与其子数列的关系)
如果数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\),那么它的任一子数列也收敛,且极限也是 \(a\).
证:设数列 \(\{x_{n_k}\}\) 是数列 \(\{x_n\}\) 的任一子数列.
由于 \(\lim_{n\to\infty}\),故 \(\forall \varepsilon>0\),\(\exists\) 正整数 \(N\),当 \(n>N\) 时,\(|x_n-a|<\varepsilon\) 成立.
取 \(K=N\),则 \(k>K\) 时 \(n_k>n_K\geq N\).于是 \(|x_{n_k}-a|<\varepsilon\).这就证明了 \(\lim_{n\to\infty}x_{n_k}=a\).
由定理4可知,如果数列 \(\{x_n\}\) 有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列 \(\{x_n\}\) 是发散的.