矩阵的迹

迹运算返回的是矩阵对角元素的和，

$$Tr\left ( A \right )=\sum_{i}A_{i,i}$$
迹运算因为很多原因而使用。若不使用求和符号，很多矩阵运算难以描述，而通过矩阵乘法和迹运算符号可以清楚的表示。例如，迹运算提供了另一种描述矩阵F范数的方式，
$$\left \| A \right \|_{F}=\sqrt{Tr\left ( AA^{T} \right )}$$
用迹运算表示表达式，我们可以使用很多有用的等式巧妙的处理表达式。例如，迹运算在转置运算下是保持不变的，
$$Tr(A)=Tr(A^{T})$$
多个矩阵相乘得到的方阵的迹，和将这些矩阵最后面一个挪到最前面之后相乘的迹是相同的。当然，我们需要考虑矩阵乘积在挪动之后依然定义良好，
$$Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)$$
另一个有用的事实是标量在迹运算后仍然是它自己： $a=Tr(a)$。