机器学习：矩阵的秩和矩阵的四个子空间

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最近又特意翻看了一下 MIT 的那本经典的《线性代数》，对矩阵的秩和矩阵的四个子空间有了更加深刻的理解。

给定一个矩阵 $A \in R^{m \times n}$，这个矩阵的行列向量可以构成四个子空间，分别是 column space，row space，null space 以及 left-null space，矩阵有行，列两个维度，如果是列向量，那么就是 $m\times1$ 维，如果看成是行向量，就是 $n\times1$维，矩阵的列向量 span 成矩阵的列空间，而矩阵的行向量 span 成行空间，这个直接从矩阵的行列向量就可以得到。

而矩阵的 null space 和 left-null space，就需要进一步的求解了，矩阵的 null space 就是所有使得线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ 成立的，所有向量 $\mathbf{x}$构成的空间，而 left-null space，是使得线性方程组 $\mathbf{A}^{T}\mathbf{y}=0$成立的所有向量 $\mathbf{y}$构成的空间。

在 MIT 的《线性代数》中，对矩阵 $\mathbf{A}$的秩，即 rank 有三个层面的解读：

• 矩阵的秩为 $r$，表示线性方程组 $\mathbf{A}\mathbf{x}$ 中有 $r$ 个 pivot，pivot 表示不可消去的变量，这是从数值的角度理解
• 矩阵的秩为 $r$，也表示矩阵 $\mathbf{A}$ 有 $r$个线性无关的行向量或者列向量，这是从向量的角度来理解
• 矩阵的秩为 $r$，也表示矩阵的行空间或者列空间的“维度”为 $r$，这是最高一层的含义了，从空间的角度来理解。

可能前面的两个定义还比较好理解，而第三个定义，空间的“维度”，可能一眼看上去不太好理解。我们知道，三维空间的维度是 3，四维空间的维度是 4， $n$ 维空间的维度是 $n$，这里的维度是我们通常理解的物理定义上的维度，而在数学上，“维度” 还有更广泛的定义，“维度” 在线性代数里，更多的时候表示的是 span 该空间所需要的基向量的个数，而基向量，就是我们通常所说的线性无关的向量，矩阵的秩为 $r$，意味着矩阵的行，列空间里最多只有 $r$个线性无关的向量，所以该空间的维度为 $r$。

我们知道矩阵的列向量是 $m\times1$ 的向量，所以矩阵的列空间是 $\mathbf{R}^{m}$ 中的一个子空间，矩阵的行向量是 $n \times 1$ 的向量，所以矩阵的行空间是 $\mathbf{R}^{n}$ 中的一个子空间，矩阵的行列空间的维度都是 $r$，也就是矩阵的秩，而矩阵的 null space 的维度是 $n-r$，矩阵的 left-null space 的维度是 $m-r$。所以总结起来就是，如果 $\mathbf{A} \in R^{m \times n}$ 的秩为 $r$，那么：

• 矩阵 $\mathbf{A}$ 的列空间 $C(\mathbf{A})$ 的维度为 $r$，是 $\mathbf{R}^{m}$ 中的一个子空间
• 矩阵 $\mathbf{A}$ 的行空间 $C(\mathbf{A}^{T})$ 的维度为 $r$，是 $\mathbf{R}^{n}$ 中的一个子空间
• 矩阵 $\mathbf{A}$ 的 null 空间 $N(\mathbf{A})$ 的维度为 $n-r$，是 $\mathbf{R}^{n}$ 中的一个子空间
• 矩阵 $\mathbf{A}$ 的 left-null 空间 $N(\mathbf{A}^{T})$ 的维度为 $m-r$，是 $\mathbf{R}^{m}$ 中的一个子空间

矩阵的行空间和矩阵的 null space 是互相垂直的，同理，矩阵的列空间和矩阵的 left-null space 也是互相垂直的。这个比较好理解，假设 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，也就是矩阵的 null space 存在，很显然， $\mathbf{A}$ 中的每一行都和 $\mathbf{x}$ 相乘为 0，所以 $\mathbf{A}$ 中 的每一行都和 $\mathbf{x}$ 互相垂直，所以 $\mathbf{A}$ 的行空间与 $\mathbf{A}$ 的 null-space 是互相垂直的，同理也可以得到列空间与 left-null space 是互相垂直的。

下面来看看矩阵的行空间的维度为什么和矩阵的 null-space 的维度 “互补”，假设矩阵 $\mathbf{A}$ 是一个 $2\times 4$ 的矩阵如下：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

$\mathbf{A}$ 的秩为 2，所以矩阵的行空间的“维度”是 2，矩阵的 null space 是 $\mathbf{R}^{4}$ 中的一个子空间，假设 null-sapce 的向量为 $\mathbf{x} = \{ x_1, x_2, x_3, x_4 \}^{T}$， $x_1, x_2$ 就是我们所说的 pivot，而 $x_3, x_4$ 就是我们所说的自由变量，我们随便取值，代入原方程都可以得到相应的解， $x_1, x_2$ 是由 $x_3, x_4$来决定的，这两个自由变量组成的向量维度为 2，所以 null-space 的 “维度” 也是 2。换成另外一个矩阵：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix}$

$\mathbf{A}$ 的秩还是为 2，所以矩阵的行空间的“维度”是 2，矩阵的 null space 是 $\mathbf{R}^{5}$ 中的一个子空间，矩阵 pivot 的个数是 2，而自由变量的个数变成了 3, 而 3 个自由变量组成的向量的维度是 3，所以 null space 的维度是 3，所以矩阵行空间的维度与 null space 的维度之和总是等于矩阵行向量的维度。这两个空间互相垂直，并且维度之和等于 $n$，所以说这两个空间的基向量 span 起了整个 $n$ 维空间。