本文是我在知乎的回答（https://www.zhihu.com/question/267405336/answer/435657618），为了把知识条理化，干脆将其整理成文章，发在博客上。初学乍练，如有错误欢迎指正。
在线性代数中，一个 \({\displaystyle n\times n}\) 的矩阵 \(\mathbf{A}\)的迹（或迹数），是指\(\mathbf{A}\)的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和，一般记作 \(\operatorname{tr}(\mathbf{A})\) 或 \(\operatorname{Sp}(\mathbf{A})\)
下面用多项式根与系数的关系证明矩阵特征值之和等于矩阵的迹
\[|\lambda E - A|= \begin{vmatrix} \ \lambda-a_{11} & -a_{12}&\dots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \dots & -a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \dots & \lambda-a_{nn} \ \end{vmatrix}=0\]
上式是一个以 \(\lambda\) 为未知数的一元n次方程，称为n阶方阵A的特征方程。其左端是 \(\lambda\) 的n次多项式，称为方阵A的特征多项式，显然A的特征值就是特征方程的解。
特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此n阶矩阵A有n个特征值。
把特征方程写为： \(b_{0}+\sum _{{k=1}}^{{n}}b_{k}\lambda^{k}=0\) 其中 \(b_k\) 是k次项的系数，由韦达定理（根与系数的关系），则有：
\[\sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k}=-{\frac{b_{n-1}}{b_{n}}}\]
其中 \(\sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k}\) 是特征方程的解之和（方阵A的特征值之和） 可以看出本例中 \(b_n=1\) ，则：
\[\sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k}=-b_{n-1} \quad \quad(1)\]
现在问题变成了求特征多项式n-1次项的系数 \(b_{n-1}\) 。
根据行列式定义，行列式是不同行不同列的项的乘积之和，本例中除了主对角线的乘积外，次数都小于n-1，因此n-1次项的系数 \(b_{n-1}\) 就是 $(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\ldots(\lambda-a_{nn}) $中 \(\lambda^{n-1}\) 的系数，也就是 \(-(a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn})\) ，即：
\[b_{n-1}=-(a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn})\quad \quad (2)\]
把(2)代入(1)，得到：
\[\sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k}=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}\quad\]
因此矩阵特征值之和等于矩阵的迹。