通过上网搜索，找到一篇不错的讲解。
原文http://mdsa.51cto.com/art/201707/544991.htm
首先
文章讲解了面积的矢量表示方法：即两个矢量映射出面积大小。第一个矢量是(1.0),第二个矢量是(0,1),也就是说两个矢量分别是X轴和Y轴上的单位为正的单位向量,那么由这两个矢量构成的四边形,这个四边形其实就是一个正方形,根据面积的定义,其实就是宽=11=1。
写成矢量表示就是
齐次性：
加法的线性映射：
实际通过加法的线性映射，我们可以得到
这像不像把矩阵[[1,0],[0,1]]的上下两行交换，所得到矩阵的行列式是原矩阵行列式的相反数。
行列式
现在我们假设用平面内的任意两个矢量所张成的平行四边形的面积,现在用公式来进行表示，好比两个矢量（a，0），（0，d）组成的长方形面积减去两个矢量（0，b），（c，0）组成的长方形面积，注意：减去是因为
在这里,其实我们不难看到,所谓的面积其实就是一个2*2的矩阵的行列式：
其实在这里,我们可以把各种维度所代表的东西来总结下,二维所代表的是平面内的面积,三维自然而然其实就是三维空间内的体积,四维其实就是四维空间内的超体积.依次类推.
秩
A是一个N*N的矩阵，a向量是列向量，V是N维体的体积：
N维体的体积是（注意到，第二个等式实际上说明了几何意义是如何定义矩阵乘法的，也就是NN矩阵A和另外一个N个列向量组成的NN矩阵的乘法）：
A的行列式如果不为零，则代表这个变换后，N维体的体积不是NULL。又结合线性无关与体积的性质，我们可以说：
如果A的行列式不为零，那么A可以把一组线性无关的矢量，映射成一组新的，线性无关的矢量；A是可逆的（一对一的映射，保真映射，KERNEL是{0}）
如果A的行列式为零，那么A就会把一组线性无关的矢量，映射成一组线性相关的矢量
如果A的行列式为负数，那么A将会改变原N维体体积的朝向。
注意：从线性无关到线性相关，其中丢失了部分信息（例如坍缩成共线或者共面）。
比如:一个秩为2为3*3的矩阵A,因为秩小于3,那么任何一个3维六面体经过他的变化后,体积变为0,退化一个面,但是仍然存在一个面积不为0的面,在变换以后还是一个非零面积的面