【复习】插入排序

插入排序

这么多插入排序，由直接插入排序进行变化得来！

直接插入排序 [稳定]

1. 将序列划分为两块：有序区，无序区
2. 初始态序列 有序区R[0]，无序区R[1] ~ R[n-1]

步骤

1. i 指向无序区的头，j 指向有序区的尾，tmp 用于临时储存待插入的值
2. 无序区中每次拿出第一个元素插入到有序区，一共可以执行 n - 1 次（1 ~ n - 1）
3. 拿出R[i] 存入tmp临时变量，j = i - 1 从有序区的尾部开始扫描，大于 tmp 的元素向后移位一个（R[i]已经用tmp临时储存，可以直接覆盖）
4. 直到扫描到一个比tmp小的，将tmp插入到该位置的后面，即 j+ 1 的位置
5. 整个过程中, j 满足 j >= 0
   

实现

void insertSort(int *R,int n){
	//param: R 序列
	//param: n 序列长度
	int i,j,tmp;
	for(i=1;i<n;i++){
		if(!(R[i] < R[i-1]))
			continue;//此元素不需要排序
		tmp = R[i];
		for(j=i-1;j>=0;j--){
			if(R[j]<tmp)
				break; //找到该元素
			else
				R[j + 1] = R[j];
		}
		R[j + 1] = tmp;//插入到J后，这个放在外面是因为，有可能插入在第一个位置，即j = -1的时候；
	}
}

分析

当原序列为 正序 ：

每一轮：只进行一次比较，即 R[i - 1] < R[i]的比较，不发生元素的移动。
Cmin = n - 1
Mmin = 0

当原序列为 逆序 ：

每一轮：有序区的所有元素都需要进行一次，即需要 i 次比较，元素发生移动的个数 (i - 1 - 0) + 1，另外对于临时变量 tmp 有 两次 额外的移动，总计 i + 2 次移动
Cmax = n(n-1)/2 = O(n²)
Mmax = (n-1)*(n + 4) / 2 = O(n²)

平均时间复杂度

每一轮：平均比较次数 (1+i )/ 2 ，平均移动次数 (0 + i) / 2 + 2
总的比较次数和移动次数 = (n - 1)(n + 4)/2 = O(n²)

折半插入排序 [稳定]

步骤

1. 其步骤和直接插入相似，只是先用二分法找到插入的位置，再进行元素移动

实现

void binInsertSort(int *R,int n){
	int i,j,tmp;
	int low,high,mid;
	for(i=1;i<n;i++){
		if(!(R[i] < R[i - 1]))
			continue;
		tmp = R[i];
		low = 0;high = i - 1;
		while(low <= high){
			mid = (low + high)/2;
			if(tmp < R[mid])
				high = mid - 1;
			else
				low = mid + 1;
		}
		
		for(j = i - 1; j >= high + 1;j--){
			R[j + 1] = R[j];
		}
		R[high + 1] = tmp;
	}
}

分析

平均比较：log₂(i+1)
平均移动：i/2 + 2
平均时间复杂度： $\sum_{i = 1}^{n-1}$(log₂(i+1) + i/2 + 2) = O(n²)

希尔排序 [不稳定]

1. 增量分块，增量递减
2. 分组的直接插入排序

与直接插入排序想比，比较每次跳跃d，初始值从d开始。

步骤

取一个d，分为d组，d递减至1

实现

void shellSort(int * R,int n){
	int i,j,tmp,d;
	d = n  / 2;
	while(d > 0){
		for(i = d; i < n;i++) //R[d]是第一组的第二个元素（直接插入法中将R[0]作为初始有序区）
		{
			tmp = R[i];
			for(j = i-d;j>=0&&tmp<R[j]; j-=d){
				R[j+d] = R[j];
			}
			R[j+d] = tmp; //插入在后面
		}
		d = d/2;
	}
}

分析

每走一趟，d 变为 floor(d/2)
走了 t = floor(log₂n) - 1 次（-1 是因为d的初始值就为 n/2），d = 1，再走一次进入直接插入排序，完成所有的排序
平均时间复杂度：O(n^1.3)

不稳定性

希尔排序是分组的，移动跨越很大，过程中不一定是有序的，当 d=1 且执行完 的时候为有序。

参考

1. 深入理解希尔排序
2. 基本排序算法