【模拟电子技术Analog Electronics Technology 8】—— 放大电路的分析方法剖析（2）

本博文是华南理工大学电子与信息学院：《模拟电子技术》第六讲的课程笔记第2部分

首先，课程提出了几个questions：
Q1：为什么我们要求放大的信号一定要是小信号？以及 $u_i$要小到什么程度才能算小信号？
Q2：三极管的动态等效电路的参数怎么求？ $g_m\dot{u}_{b'e}$是否约等于 $β\dot{I}_b$
Q3：如何求放大电路的指标？

课程围绕解决这三个Questions展开，下面我们就来分析一下这三个问题的详细分析方法：

Q1：为什么我们要求放大的信号一定要是小信号？

这个问题可以从定性和定量的角度去理解：
首先是定性角度：（首先，我们得了解一件事情：就是交流信号才会携带有用的，多种的信息）如果输入的是大信号，那么我们对它求导之后斜率变化不大，几乎可以用一条直线表示了

下面是定量角度：
我们知道在放大电路中，我们常常要在交流信号上叠加一个直流分量，因此我们有下面的式子： $\left \{ \begin{array}{c} u_{BE} = u_{be} + U_{BEQ}\\ i_{B} = i_b + I_{BQ}\\ i_{C} = i_c + I_{CQ}\\ u_{CE} = u_{ce} + U_{CEQ}\\ \end{array} \right.$
我们发现：在加上了这些直流分量之后，这些小信号变成了大信号，在大信号下有公式： $\begin{aligned} i_C = I_S e^{\frac{u_{BE}}{U_T}} =I_Se^{\frac{u_{be} + U_{BEQ}}{U_T}} = I_Se^{\frac{u_{be}}{U_T}}e^{\frac{U_{BEQ}}{U_T}}\tag{1} \end{aligned}$

下面是博主对(1)式的理解：我们看三极管的发射结：也就是由B极和E极之间的PN结，加在这个PN结两端的电压为 $u_{BE}$，流过这个PN结的电流为 $i_E = i_B + i_C$，因此，由PN结的电流电压关系知道： $i_E = I_S(e^{\frac{u_{BE}}{U_T} }- 1)$
但是， $i_C >> i_B$,因此，在 $i_E$的组成中，我们忽略 $i_B$,即 $i_E$≈ $i_C$,同时，我们注意到： $u_{BE}$是交直流混合量，是一个较大的量，和 $U_T$比起来非常大，因此， $e^{\frac{u_{BE}}{U_T}} - 1≈ e^{\frac{u_{BE}}{U_T}}$
所以，最后的式子就变成了： $i_C = I_S e^{\frac{u_{BE}}{U_T}}$

我们惊喜地发现： $I_Se^{\frac{U_{BEQ}}{U_T}} = I_{CQ}$，因此，原式变为： $i_C = I_{CQ}e^{\frac{u_be}{U_T}} = I_{CQ}e^{\frac{u_i}{U_T}}$
上面这个式子反映了输入信号 $u_i$和输出电流 $i_C$之间的关系，我们发现： $I_{CQ}, U_T$都是常量哦！，那么 $u_i$岂不是和 $i_C$成指数关系？？

这时候 ，泰勒忍不住插上了一句话： $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
熟悉的泰勒公式出现了！但是，我们不禁皱起了眉头： $e^x$的泰勒展开式里面有 $x^2,x^3...$这些高次项，就注定x与 $e^x$不是线性关系，那么就必然会造成失真！

那怎么办？

还好我们有近似的办法：我们想：如果x很小很小，那么是不是 $x^2,x^3$以及那些更高次的项都可以忽略了？这样一来： $e^x$≈ 1+ x，这不就是线性关系了吗！！

所以，只有当输入信号 $u_i$很小的时候，才会有： $i_C = I_{CQ}(1 + \frac{u_i}{U_T})$，这样就不会造成太大的失真！

那么，我们得到了下面的式子： $i_C = I_{CQ} + I_{CQ}\frac{u_i}{U_T}$
而我们又知道： $i_C = I_{CQ} + i_c$
因此，交流信号： $i_c = \frac{I_{CQ}}{U_T}u_i$
我们令： $g_m$ = $\frac{i_c}{u_i}$ = $\frac{I_{CQ}}{U_T}$（ $g_m$叫做跨导）

问题：为什么要引入 $g_m$?

Q1.2: 输入信号要小到什么程度？

我们知道要使得： $u_i << U_T$
一般来说， $u_i$可以等于5mV之类，最多最多不要超过10mV了

Q2：动态等效电路的参数怎么求？

首先，我们看看简化的三极管等效模型：

其中， $r_{be}$是三极管输入回路的动态电阻，它包括三极管基区的体电阻和发射结的结电阻 $r_{b'e}$，即： $r_{be} = r_{bb'}+r_{b'e}$，内部示意图如下：

由于 $r_e$和 $r_{bb'},r_{b'e'}$想比很小，可以忽略不计，因此， $r_{b'e} ≈ r_{b'e'}$
因此，三极管的输入回路的等效电路如下图所示：

$r_{bb'}$一般会给出，下面我们想计算 $r_{b'e}$:
由二极管的电流电压方程知，发射结的总电流满足： $i_E = I_S(e^{\frac{u}{U_T}} - 1)$（ $r_{b'e}$现在近似看作三极管发射结结电阻，因此有： $r_{b'e} = \frac{U_T}{I_{EQ}}$)
求导可得： $\frac{1}{r_{b'e}} = \frac{I_S}{U_T}e^{\frac{u}{U_T}}\tag{2}$
当发射结导通时，u约等于0.5V，而 $U_T$约等于26mV，故 $i_E ≈ I_Se^{\frac{u}{U_T}}$

将(2)式带入 $i_E ≈ I_Se^{\frac{u}{U_T}}$，得： $\frac{1}{r_{b'e}} = \frac{i_{E}}{U_T} = \frac{i_e + I_{EQ}}{U_T}$
而 $I_{EQ} >> i_e$，因此， $\frac{1}{r_{b'e}} ≈ \frac{I_{EQ}}{U_T}\tag{3}$

下面，我们继续： $r_{be} = r_{bb'}+r_{b'e}$

$r_{be} =\frac{U_{be}}{\dot{I}_b} = \frac{U_{bb'} + U_{b'e}}{\dot{I}_b} = r_{bb'} + \frac{U_{b'e}}{\dot{I}_b} = r_{bb'} + \frac{\dot{I}_e r_{b'e}}{\dot{I}_b} = r_{bb'} + (1+β)\frac{U_T}{I_{EQ}}$
因此，我们可以得到： $r_{b'e} = (1 +β)\frac{U_T}{I_{EQ}} = β\frac{U_T}{I_{CQ}}$(重要！！！！）

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下面，我们来看看 $g_m\dot{u}_{b'e}$是否约等于 $β\dot{I}_b$：
$g_m\dot{U}_{b'e} = \frac{I_{CQ}}{U_T}\dot{U}_{b'e} = \frac{I_{CQ}}{U_T}\dot{I}_br_{b'e} = \frac{I_{CQ}}{U_T}\dot{I}_bβ\frac{U_T}{I_{CQ}} = β\dot{I}_b$

Q3: 如何求放大电路的指标？

一，首先，我们要画出交流通路，如下图所示：

二，画出微变等效电路（即将三极管变成刚刚的模型）
也就是三极管部分用下面这个电路来等效代替：

那么，电路就变成了：

三，先求微变等效电路的参数，比如： $r_b'e$…
四，开始计算各项指标（回到了电路问题）
比如：计算 $R_i$(从左边输入端看进去的等效电阻）
$R_i = \frac{\dot{U}_i}{\dot{I}_i} = R_b // r_be$（ $r_{be} = r_{bb'} + r_{b'e}$)

计算放大倍数： $A_u$:
$A_u = \frac{\dot{U}_o}{\dot{U}_s} = \frac{-β\dot{I}_b(R_c // R_L)}{\dot{I}_br_{be}} = -\frac{β(R_c//R_L)}{r_{be}}$
通过上面的式子我们发现：

1. $A_u$与 $r_{be}$有关，而通过上面的分析我们可以知道： $r_{be}$可以通过 $I_{CQ}$求出
   一般来说， $I_{CQ}$是一定的，因此 $A_u$与等效负载有关！
2. 我们还注意到 $A_u$计算公式的前面有一个负号，说明输入输出信号之间有180°的相位差

计算输出等效电阻 $R_o$:
首先，我们将 $u_i$短路，发现左边整个电路就没用了，而当 $\dot{I}_b$等于0时，右边的受控电流源也没用了，顺带将 $R_c$短路，因此，输出等效电阻就等于 $R_L$

后续：复习回顾时发现的一些要点：

1. 在我们画电路的动态等效电路时，如果遇到稳压管，我们是把它当作恒压源来处理的，其动态电阻忽略不计，如下图这种：