【模拟电子技术Analog Electronics Technology 18】—— 放大电路的频率响应2：以具体电路分析全频段放大倍数

1.问题引入：

对于给定的一个放大电路，要求它的全频段放大倍数，方法是这样的：
我们分频段求解：

1. 首先看低频段，画出它的等效电路：低频段电路要求保留 $C_1, C_2, C_e$（晶体管内电容 $C_Π’$)做开路处理，计算一个低频段 $A_u$
2. 再看中频段，这和我们以前的方法一样，我们将所有电容做短路处理
3. 最后是高频段，我们要保留 $C_Π’$，而 $C_1, C_2, C_e$做短路处理

而根据我们在上一篇博文中得到的关系可知： $A_{us} = A_{usm}\frac{1}{(1 - j\frac{f_L}{f})(1 + j\frac{f}{f_H})}$

特别提醒：有的时候解题我们需要下面这个表达式：
$A_{us} = A_{usm}\frac{j\frac{f}{f_L}}{(1+j\frac{f}{f_L})(1 + j\frac{f}{f_H})}$，也就是说，我们需要凑出分子的式子从而得到 $A_{usm}$

那么，欲求 $A_{us}$，问题就转化为了计算 $f_L$和 $f_H$
而我们由知道： $f_L = \begin{cases} f_{L1} = \frac{1}{2ΠR1C_1}\\ f_{L2} = \frac{1}{2ΠR2C_2}\\ f_{L3} = \frac{1}{2ΠR_e'C_e}\\ \end{cases}$
那么，问题就转化为了计算 $R1,R2,R_e'$
(其中，特别说明： $R1,R2,R_e'$是分别将 $C_1,C_2,C_e$两端开路，电源置零之后看进去的等效电阻！！！）

2.晶体管的高频等效模型详细推导

下面，我们引入一个插曲，先来看看晶体管的高频等效电路：
首先，它最原始的样子是这样的：

但是，一般，我们忽略 $r_{b'c}$和 $r_{ce}$，因此，电路变成了下面的样子：

我们看到： $C_μ$跨接在了输入和输出回路之间，这样会让分析变得复杂，因此，我们考虑将 $C_μ$单向化：
我们先看看上图中流过 $C_μ$的电流： $I_{C_μ} = \frac{u_{be} - u_{ce}}{X_{C_μ}} = \frac{(1-\frac{u_{ce}}{u_{b'e}})u_{b'e}}{X_{Cμ}}$
我们令K = $\frac{u_{ce}}{u_{b'e}}$，则原式变为： $I_{C_μ} = \frac{(1-K)u_{b'e}}{X_{Cμ}}$
现在，我们想将 $C_{μ}$等效到输回路和输出回路里面去，那么应该要保证等效后的电容 $C_{μ'}$上的电流应该与 $C_{μ}$上的电流一样，即有： $I = \frac{u_{b'e}}{X_{Cμ'}} = \frac{(1-K)u_{b'e}}{X_{Cμ}}$
那么就可以得到： $X_{Cμ'}(1 - K) = X_{Cμ}$
也即是： $C_{μ'} = （1 - K)C_μ = (1 + |K|)C_μ$（注意： $C_{μ'}$是电容等效到输入回路里面的等效电容！！）

我们还需要计算 $C_μ$等效到输出回路中的电容：计算原理类似： $I_{C_μ} = \frac{u_{be} - u_{ce}}{X_{C_μ}} = \frac{(\frac{u_{be}}{u_{ce}} - 1)u_{ce}}{X_{C_μ}}$
令 $\frac{1}{K}$ = $\frac{u_{be}}{u_{ce}}$，那么最后我们可以得到： $C_{μ''} = \frac{K-1}{K}C_μ$
那么，我们进一步化简电路，可以得到：

但是一般我们忽略 $C_{μ''}$，然后将 $C_Π,C_{μ'}$并联等效一下，最终得到我们最常用的晶体管高频等效模型：

其中， $C_{Π'} = C_{Π} + C_{μ'}$

下面，我们还需要知道一件事情，就是晶体管的β在该模型中的表达式：
$β = \frac{i_C}{i_B} = \frac{g_mU_{b'e}}{U_{b'e}[\frac{1}{r_{b'e} + jω(C_Π + C_μ)}]} = \frac{β_0}{1 + j\frac{f}{f_β}}$
其中， $f_β = \frac{1}{2Πr_{b'e}(C_Π + C_μ)}$

好的，推导结束啦，我们来理清一下思维：
我们要求晶体管的高频等效模型，首要任务就是这个 $C_{Π'}$，其他的和以前一样
我们知道： $C_{Π'} = C_{Π} + C_{μ'}$，那么就是要计算 $C_{Π}$和 $C_{μ'}$：
$C_{μ’}$的话，用公式： $C_{μ'} = （1 - K)C_μ = (1 + |K|)C_μ$（一般题目会给K和 $C_μ$）
而 $C_Π$d的话呢，就通过上面 $f_β$的表达式计算

3.实战分析全频段放大倍数

我们以下面的电路为例：

首先，我们要计算它在中频段的放大倍数，这个很简单，我就不赘述了
【低频段】
下面看它在低频段的情况，我们知道，低频段要保留 $C_1, C_2,C_e$，它们各对应一个低频因子，在计算的时候，我们是需要分别计算的，也就是说计算 $C_1$的低频因子时，我们需要将其他 $C_2, C_e$短路处理
首先来看看 $C_1$的影响：画出等效电路

下面就是求从 $C_1$看进去的等效电阻（因为上图的电源已经置零了）
$R_1 = R_s + (R_{b1} // R_{b2} // r_{be})$
那么， $C_1$的低频因子为： $f_{L1} = \frac{1}{2Π(R_s + R_{b1} // R_{b2} // r_{be})C_1}$

下面接着来看看 $C_2$的影响：

我们发现，电路左边区域是个纯电阻区，等于啥都没有了，那么自然， $i_b$就等于0，那么等效电阻 $R_2 = R_c + R_L$
那么， $C_2$的低频因子为： $f_{L2} = \frac{1}{2Π(R_c + R_L)C_2}$
然后，来看看 $C_e$的影响：

这里，我们第一眼能够确定的是，等效电阻是 $R_e$//(…)
下面，我们来看看从 $R_e$左边端口看进去的等效电阻：端口电流我们知道是(1+ β) $i_b$
而端电压是等于： $i_b(R_s // R_{b1} // R_{b2}) + i_br_{be}$
那么，从 $R_e$左边端口看进去的等效电阻 $R'$为： $\frac{i_b(R_s // R_{b1} // R_{b2}) + i_br_{be}}{(1 + β)i_b} = \frac{R_s // R_{b1} // R_{b2} + r_{be}}{1+β}$
因此， $R_e' = R_e // \frac{R_s // R_{b1} // R_{b2} + r_{be}}{1+β}$
同样就可以计算出 $C_e$的低频因子

特别提醒：在低频段，由 $C_1$， $C_2$, $C_e$引起的最大附加相移为90°（单个元件！）

【高频段】
同理，我们还是画出高频段的等效电路，此时 $C_1,C_2,C_e$短路处理， $C_Π'$保留

这里，从 $C_Π'$两端看进去的等效电阻相当清晰：
$R_Π’ =( R_s // R_{b1} // R_{b2} + r_{bb'})//r_{b'e}$
而 $C_{Π}'$的计算上文已经讲过，这样就可以计算出高频因子

特别提醒：在高频段，由 $C_Π'$引起的最大相移为-90°

4.截止频率的估算

当放大电路中有多个 $f_L$或多个 $f_H$时，我们可能需要估计电路的下限频率 $f_L$或者是上限频率 $f_H$，我们有下面的公式：
$f_L = 1.1\sqrt{\sum_{k=1}^Nf_{Lk}^2}$
$\space$
$f_H = 1.1\sqrt{\sum_{k=1}^N\frac{1}{f_{Hk}^2}}$

好啦，这就是本次的课程笔记啦，由于最近各种ddl导致博主延迟了挺长时间才把这篇笔记整理好，see you！

5. 后续回顾博客复习时的再总结：

最近博主在回顾这篇博文的时候，发现了一些概念和计算方法还没有完全理解，现在作为补充，加在博文的最后：

1. 首先是一些概念性的东西：什么是上限截止频率 $f_H$ 和下限截止频率 $f_L$？
   通常定义：放大倍数下降到中频段放大倍数的0.707倍时对应的频率称为截止频率，如果像我们之前那样使用dB来表示的，那么就是放大倍数比中频段下降3dB时所对应的频率
   什么是频带宽度 $f_{BW}$？频带宽度 = $f_H - f_L$ （如果输入信号的频率超过了频带宽度将会产生线性失真）
2. 关于 $C_Π'$和场效应管高频等效电路中 $C'_{gs}$的计算方法：
   首先是三极管的高频等效电路中 $C_Π'$的计算方法：我们知道 $C_Π' = C_Π + (1 - K)C_μ$
   首先是K的计算方法： $K = -g_mR_L'$!!!（ $R_L'$：当有负载是 $R_L' = R_c // R_L$，当无负载时, $R_L' = R_c$),而 $g_m ≈ \frac{I_{EQ}}{U_T} ≈ \frac{I_{CQ}}{U_T}$
   在这一步做完之后，我们来计算 $C_Π$: $C_Π = \frac{g_m}{2Πf_T}$（注意上面的公式求的是 $C_Π$!!!)
   其中， $f_T$是特征频率，如果题目给了这个，我们就用上面的公式计算（ $C_μ$这个一般会给出）
   如果没给 $f_T$，只给了一个共射截止频率 $f_β$,那么我们先计算 $β_0$： $β_0 = g_mr_{b'e}$
   然后， $f_T ≈ β_0f_β$，再用上面的公式计算即可
3. 下面是场管的 $C'_{gs}$:
   场管的 $C'_{gs}$的计算方法： $C'_{gs} = C_{gs} + (1-K)C_{ds}$
   同理，K = - $g_mR_L'$