矩阵笔记

一，什么是矩阵

简单两个例子：
$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$
矩阵 $A$中的其中一个元素可以用 $a_{11}=1$表示

矩阵可以向上面表示成框起来的数字，排列的像个阵列

二，矩阵的基本运算

1，加减法

①加法：

相同行列数的矩阵对应元素直接相加即可

简单举个例子：

$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\4\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}6\\4\\7\end{bmatrix},a+b=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}\\a_{21}+b_{21}\\a_{31}+b_{31}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\7\\10\end{bmatrix}$

②减法

运算要求同上，只是变成相减运算而已

举个简单例子：
$a = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\4\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}6\\4\\7\end{bmatrix},a-b=\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11}\\a_{21}-b_{21}\\a_{31}-b_{31}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5\\-1\\-3\end{bmatrix}$

2，数乘

一个矩阵与一个实数相乘，每个元素都与实数相乘

简单举个例子：
有 $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}$
则 $\lambda A=\begin{bmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}\\\lambda a_{21}&\lambda a_{22}\end{bmatrix}$

3，乘法

有 $A_{m\times n}\times B_{p\times q}$
若 $n=p$
则 $A_{m\times n}\times B_{p\times q}=C_{m\times q}$

矩阵惩罚不满足交换律，但是满足结合律和分配律

• $(AB)C=A(BC)$
• $(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC$
• $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B),\lambda \in R$

4，转置

简单说就是行列互换

有 $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}$
则 $A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}$

转职的运算规则

• $(A^T)T=A$
• $(AB)^T=B^TA^T$
• $(A+B)T=A^T+B^T$

三，四种特殊的矩阵

1，对称矩阵

若一个矩阵转职后等于原矩阵，这个矩阵就是对称矩阵
对称矩阵一定为方阵

• 举个例子：
  $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\2&5&6\\3&6&7\end{bmatrix}$

2，单位矩阵

单位矩阵是一个 $n\times n$矩阵，主对角线元素为1，其余元素为0

• 举个例子：
  $A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$

• 一个矩阵与单位矩阵相乘还是原来的矩阵：
  $A_{m\times n}I_{n\times n}=A_{m\times m}$
  $I_{m\times m}A_{m\times n}=A_{m\times n}$

3，逆矩阵

逆矩阵有点像以前接触过的倒数，与原来的数相乘等于1

若 $A$有逆矩阵，则逆矩阵记作 $A^{-1}$

• $A$与 $A^{-1}的乘积是单位矩阵$ :
  $AA^{-1}=A^{-1}A = I$

4，奇异矩阵

奇异矩阵是方阵的一种，对应的行列式计算为0

四，初探矩阵与线性方程组

两种基本的计算方法

• 消元法
• 矩阵向量法

五，再看矩阵与线性方程组

• 矩阵的初等变换 $\implies$行阶梯矩阵
• 矩阵的秩 $\implies$满秩矩阵
• 线性组合 $\implies$线性相关

六，求解逆矩阵

• 方程组法
• 高斯-诺尔当消元法

七，消元矩阵与置换矩阵

• 消元矩阵
• 置换矩阵
• 用消元与置换矩阵计算逆矩阵

八，LU分解

求解输出经常变动的大型方程组