矩阵乘法（三）：根据要求构造矩阵进行快速幂运算

      在应用矩阵的快速幂运算时，有时需要进行适当的构造。下面先看一道POJ 上的经典题目。

【例1】Matrix Power Series （POJ 3233）

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 109) and m (m < 104). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1
Sample Output

1 2
2 3

      （1）编程思路。

      题目的意思是：输入n*n矩阵A，求S=A + A^2 + A^3 + … + A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加），输出的数据mod m。

      显然不能将各个矩阵的2~k次幂均计算出来，会超时的。

      可以构造出一个2n*2n的矩阵P，采用分块的方法表示如下，，其中 A 为原矩阵，I 为单位矩阵，O 为0矩阵。

    

      

        我们发现 P^k+1 右上角那一个分块n*n矩阵正是要求的 A+A²+...+A^k 。

　　于是我们构造出 P矩阵，然后对它求矩阵快速幂，最后减去一个单位阵即可得到结果。

      （2）源程序。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
struct Matrix
{
      int mat[61][61]; // 存储矩阵中各元素
};
Matrix matMul(Matrix a ,Matrix b,int n,int m)
{
      Matrix c;
      memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
      int i,j,k;
      for (i = 1; i<=n ; i++)
          for (j=1 ;j<=n ; j++)
              for (k = 1 ;k<=n ;k++)
              {
                    c.mat[i][j]=(c.mat[i][j]+a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % m;
              }
      return c;
}
Matrix quickMatPow(Matrix a ,int n,int b,int m) // n阶矩阵a快速b次幂
{
      Matrix c;
      memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));
      int i;
      for (i = 1 ;i <= n ;i++)
      c.mat[i][i] = 1;
      while (b!=0)
      {
            if (b & 1)
                 c = matMul(c ,a ,n,m); // c=c*a;
            a = matMul(a ,a ,n,m); // a=a*a
            b /= 2;
      }
      return c;
}
int main()
{
      int n,k,m,i,j;
      Matrix p ;
      scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);
      memset(p.mat,0,sizeof(p.mat));
      for (i=1;i<=n;i++)
          for (j=1;j<=n;j++)
              scanf("%d",&p.mat[i][j]);
      for (i=1;i<=n;i++)
      {
               p.mat[i][n+i]=1;        // 右上角的单位矩阵
               p.mat[n+i][n+i]=1;    // 右下角的单位矩阵
      }
      p = quickMatPow(p,2*n,k+1,m);
      for (i=1;i<=n;i++)
      p.mat[i][i+n]--;               // 减去单位矩阵
      for (i=1;i<=n;i++)
      {
            for (j=n+1;j<=2*n;j++)
                 printf("%d ",(p.mat[i][j]+m)%m);
            printf("\n");
      }
      return 0;
}

      由于构造的P矩阵中含有大量的0元素，因此可以考虑在矩阵相乘时进行优化，优化的方法是如果是0元素就不进行对应元素运算。优化后的矩阵相乘函数如下：

Matrix matMul(Matrix a ,Matrix b,int n,int m)
{
      Matrix c;
      memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
      int i,j,k;
      for (k = 1; k<=n ; k++)
          for (i=1 ;i<=n ; i++)
             if (a.mat[i][k]!=0)
                 for (j = 1 ;j<=n ;j++)
                     c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % m;
      return c;
}