快速幂与矩阵快速幂运算

快速幂与矩阵快速幂

（一）快速幂模板（整数快速幂计算x^N ）

举个栗子

十进制数 11 = 二进制数1011

3^11 = 3^1011 = 3^8 3^2 3^1

int QuickPow(int x,int N)
{
    int res = x;    //res表示当前底数
    int ans = 1;    //ans表示当前值
    whlle(N)
    {
        if(N&1)
        {
            ans = ans * res;
        }
        res = res * res;
        N = N >> 1; 
    }
    return ans;
}

注意理解板子中 res 和 ans 的作用

（二）矩阵快速幂 (矩阵A的M次幂，A^M )

先献上板子

struct Matrix
{
    int m[maxn][maxn];
}ans,res;
//计算矩形乘法的函数，参数是矩阵 A 和矩阵 B 和一个 n(阶数) 
Maxtrix Mul(Maxtrix A, Maxtrix B, int n)
{
    Maxtrix temp;//定义一个临时矩阵，存放A*B的结果
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            temp.m[i][j] = 0;//初始化temp
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
            for(int k=1; k<=n; k++)
                temp.m[i][j] += A.m[i][j]*B.m[i][j];
    return temp;
}
void QuickPower(int N, int n)
{
    //对应整数快速幂，矩阵快速幂的 ans 应该初始化为单位矩阵
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            if(i == j) ans.m[i][j] = 1;
            else ans.m[i][j] = 0;
        }
        while(N)
        {
            if(N&1)
                ans = Mul(res, res);
            res = Mul(res, res);
            N = N >> 1;
        }
}

例题

（1）众所周知：斐波那契数列递推公式为：F[n] = F[n-1] + F[n-2]. 其中f[1]=1,f[2]=1，求F[n]的值；

（2）变式 F[n] = AF[n-1] + BF[n-2]. 其中f[1]=1,f[2]=1，求F[n]的值；

（3）变式 F[n] = AF[n-1] + BF[n-2] + C. 其中f[1]=1,f[2]=1，求F[n]的值；