「学习笔记」矩阵乘法与矩阵快速幂

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矩阵乘法

定义

一个$n \times m$矩阵$A$乘上一个$m\times p$的矩阵$B$，得到一个$n \times p$的矩阵$C$：

$C_{i,j}=\sum_{k=1}^{m} A_{i,k} \times B_{k,j}\;(1\leq i \leq n,1 \leq j \leq p)$

也就是说，新矩阵的第$i$行第$j$个数为$A$的第$i$行与$B$的第$j$列对应相乘再相加的结果

优化递推

例如拿斐波那契数列举例

已知$f(1)=f(2)=1, f(i) = f(i-1) + f(i-2)\; (i > 2)$

求$f(n) \; mod \; (10^9+7), n <= 2*10^9$

这里用O(n)的复杂度递推显然超时。可以考虑：

一个矩阵$[f(i),f(i-1)] * A = [f(i+1), f(i)]$

能否找到这样一个转移矩阵$A$？

可以找到：

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

因此，求$f(n)$只要做$n-2$次$(n>2)$矩阵快速幂，复杂度为$O(log \; n)$.

矩阵快速幂

把普通的快速幂中的乘法改为矩阵乘法即可。

推荐例题

模板：

LibreOJ 100 矩阵乘法模板

Luogu P3390 矩阵快速幂模板

Luogu P1939 矩阵加速模板

矩阵加速线性递推的近似模板题：

Luogu P1962 斐波那契数列

Luogu P1349 广义斐波那契数列

Luogu P1306 斐波那契公约数

NOI2012 随机数生成器

矩阵快速幂与DP：

Luogu P2106 Sam数