【连载】线性代数笔记——第二章矩阵2

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教材|线性代数第三版（上海交通大学出版社）
内容|第二章矩阵|第三节/第四节

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第二章矩阵

2.3|可逆矩阵

逆矩阵

定义concept：

A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，st.AB=BA=En，则称矩阵A是可逆的,称矩阵B为矩阵A的逆矩阵。

表示：

B=A^-1;

注意：

• 不是每个方阵都有逆矩阵。

• 逆矩阵的唯一性。

  • 定理：

    • $$若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的$$

• 逆矩阵的存在性——矩阵可逆的充要条件。

定义：

设A=（aij）n（n>=2）

aij在|A|中的代数余子式为Aij，则称n阶矩阵

图！【类似转置的行列式】

为A的伴随矩阵，记为A^*.

例：

求矩阵A的伴随矩阵A^*；
方法：求出每一个代数余子式，列出A^*；
    若|A|=60【行列式的值为60】，AA^*（矩阵乘法）=数量矩阵，对角线元素恰为|A|，即
    图！
    所以AA^*=A^*A=|A|E【im】；（伴随矩阵基本性质）

定理：

n阶矩阵A可逆<=>|A|！=0（充分必要条件）

且A^(-1)=1/|A|·A^*.

----------求逆矩阵的伴随矩阵法！------------

证明：

必要性——

图！

充分性——

图！

推论：

若存在n阶矩阵B，st BA=E（或AB=E）

则矩阵A可逆，且A^(-1)=B。

【注：一阶矩阵A=（a）可逆<——>|A|=a！=0，A^(-1)=1/a】

证明：

若AB=E，则|AB|【=|A||B|】=|E|=1，所以|A|！=0，所以矩阵A可逆。

定义：

行列式不为零的矩阵称为非奇异矩阵；|A|=0，奇异矩阵。

求逆方法——A^*；

例：（求逆）

n阶矩阵A满足：A^2-3A-5E=0，证明：A+2E可逆，用矩阵A表示A+2E的逆矩阵。

解-

（A+2E）(A-5E)=-5E，两边同除以（-5），得到（-1/5)（A+2E）(A-5E)=E,可求得逆矩阵。

例：

设A为n（n>=2）阶非零实矩阵，A^*=AT，证明A可逆。

由A^*=A^T得，Aij=aij，i，j=1，2，3.....n；
因为A不是0矩阵，所以存在aij=！=0，st

图！

克拉默法则的另一种叙述

AX=B，A为系数列矩阵，X为未知数列矩阵，B为常数列矩阵；

若A=（aij）n可逆，则X=A^(-1)B=...

图！

克拉默法则推广

设A为n阶已知可逆矩阵，B为n×k已知矩阵，AX=B，则存在唯一解X=A^(-1)B；

若C为k阶已知可逆矩阵，且AXC=B，则存在唯一解X=A^(-1)BC(-1)。

利用求逆方法求解线性方程组

可逆矩阵的性质

设A,B,A1,A2…Ak为n阶可逆矩阵，则

图！

例：

设A,B，A+B均可逆，证…

图！

伴随矩阵的性质

设A为n阶可逆矩阵，（n>=2）

则

图！

2.4|分块矩阵

子块，大写A，下标与所处位置有关。

分块矩阵的相等

s=r,t=q,Aij=Bij,i=1,2.....s,j=1,2......t;
Ast,Brq；

分方法一样，两矩阵相等【同型且相等】

则A=B。

分块矩阵的运算

分不分块运算结果相同。

1.分块矩阵的加法与数乘

A=(Aij)s×t，B=(Bij)s×t；

Aij，Bij同型矩阵，s=r,t=q,Aij=Bij,i=1,2.....s,j=1,2......t;

A+B=(Aij+Bij)s×t，

kA=(kAij)s×t.[乘到每个块上，再针对每个块乘]

• 特殊的分块方法
  • A=（ɑ1 ɑ2 ɑ3 ɑ4）【按列分块】

2.分块矩阵的乘法

乘法法则：

对于两个可以相乘的矩阵，

A的列分法=B的行分法，A行B列无所谓
遵循法则随便切~

1. A按列分，B不分： （ɑ1 ɑ2 ɑ3 ɑ4）（…图！）=（ɑ1-ɑ3+ɑ4，-ɑ1 + ɑ2）
2. A不分，B按列分=（β1 β2），行列式=A（β1 β2）。
3. A的列=B的行—>保证子块能乘；

几种常用分块：

• 按行分块
  • 图
• 按列分块
  • 图

实例：

1. A列分块，B不分 C的列可由A的列线性表示。

2. B列分块，A不分

3. A行分块，B不分

4. B行分块，A不分

   ​ C的列可由B的行线性表示。

3.分块矩阵的转置

$$A=（Aij）s\times t$$

$$A^T=（Bij）t\times s=（A^{T}ji）t\times s$$

整体块转置，再把每个小块转置。

4.分块对角矩阵及其运算

称A=

图！

为分块对角矩阵。

乘法（矩阵规则）性质

图！

次对角

反转+取逆；

• 拆项（只能拆其中一项）【行列式的性质】

  • 倍加

• 单位向量εi

• 可逆的上三角矩阵的逆矩阵也为上三角矩阵

示。

3.分块矩阵的转置

$$A=（Aij）s\times t$$

$$A^T=（Bij）t\times s=（A^{T}ji）t\times s$$

整体块转置，再把每个小块转置。

4.分块对角矩阵及其运算

称A=

图！

为分块对角矩阵。

乘法（矩阵规则）性质

图！

次对角

反转+取逆；

• 拆项（只能拆其中一项）【行列式的性质】

  • 倍加

• 单位向量εi

• 可逆的上三角矩阵的逆矩阵也为上三角矩阵

未完！

如果对你有帮助的话不要忘记一键三连噢~
谢谢鸭~

初次编写于2021/3/29日。