之前的没坚持下来,再来一个系列。。再把之前的继续
第二章、线性代数部分:
标量:单独的数
向量:有序排列的一组数
矩阵:二维数组
张量:多维数组
转置:矩阵操作,对角线镜像
矩阵乘法:不满足交换律。
单位矩阵:任意矩阵和单位矩阵相乘不变,单位矩阵除对角线为1,其余全为0
逆矩阵: A`-1*A =I 矩阵可逆的条件:方阵且所有列向量线性无关。
线性相关:冗余表示,任意一个向量不能由其他向量线性组合称为线性无关。
生成子空间:一组向量所能组成达到的点的集合
范数:衡量向量大小: 比如 范数就是各方向绝对值之和。最大范数为向量中的最大值。
向量点积可表示为:
特殊类型的矩阵和向量:
对角矩阵:只在对角线有非0值 优势,计算效率高
对称矩阵:转置和自己本身相等的矩阵
单位向量:具有单位范数的向量,
正交:向量夹角为90度
标准正交:为90度且范数为1
正交矩阵:行列矩阵都为标准正交的方正。,意味着 ,方便求逆。
特征向量:与方阵相乘后相当于缩放自身向量的非零向量。 此时为对应的特征值。
特征向量缩放后,依旧为特征向量。特征值不变。因此通常指考虑单位特征向量。
特征分解:矩阵A有n个线性无关的特征向量。对应特征值组成对角矩阵。矩阵可分解为:
通常特征值矩阵中,对角元素降序排列,构成唯一矩阵。
正定矩阵:所有特征值为正数,半正定矩阵:所有特征值非负。同理负定和半负定。
奇异值分解:SVD缩写。所有实数矩阵都可以奇异值分解。
假设A为m*n矩阵,则U是m*m矩阵,D是m*n矩阵,V是n*n矩阵。U和V为正交矩阵,D为对角矩阵,且D不一定为方 阵。矩阵D中的对角元素为奇异值。U的列向量为左奇异向量,V的列向量为右奇异向量。其中,左奇异向量是的 特征向量,右奇异向量是的特征向量。 主要作用就是拓展对非方阵的求逆。
Moore-Penrose伪逆:
解决非方阵的求逆:, 其中D+是对角矩阵D,非零元素取倒数再转置?(对角矩阵转置不是一样吗)
迹运算:矩阵对角元素之和。迹运算满足交换律。Tr(A) 表示。
行列式:det(A),是一个将方阵映射到实数的函数。等于方阵特征值得乘积。其绝对值表示矩阵乘法后空间扩大或缩小比例。1不变,0失去所有体积。
主成分分析:PCA 求出彼此正交的特征值最大的几个特征向量。