03 二维随机变量的分布

第三章、二维随机变量的分布

二维随机变量的联合分布函数

• 联合分布：F(x,y) = P(X<=x,Y<=y)，其中‘，’的含义是‘与’
• 边际分布：

    F_X(x) = F(x,+ \infty)

    F_Y(y) = F(+ \infty,y)

二维离散型随机变量

• 联合分布列：

    P_{ij} = P(X=x_i,Y=y_j)

• 边际分布列：数据透视表
• 独立性：

    P(X=x_i,Y=y_j) = P(X=x_i)P(Y=y_j)

二维连续性随机变量

• 联合分布：

    F(x,y) = \int_{- \infty}^{x}\int_{- \infty}^{y}f(u,v)dudv

• 边际密度函数：

    f_X(x) =F(x,+ \infty ) '  = (\int_{- \infty}^{+ \infty}\int_{- \infty}^{x}f(x,y)dxdy)' = \int_{- \infty}^{+ \infty}f(x,y)dy

    f_Y(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}f(x,y)dx

• 独立性：

    f(x,y) = f_X(x) f_Y(y) 

二维随机变量函数的分布

• 泊松分布的可加性：

  X ~ P(λ1)，Y ~ P(λ2)，则X+Y ~ P(λ1+λ2)

• 正态分布的可加性：

  X ~ N(μ1，σ1^2)，Y ~ N(μ2，σ2^2)，且X、Y相互独立，则X+Y ~ N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)

• 极大极小分布

  X1,X2...Xn相互独立，分布函数为：FXi(x)，Y = max{X1,X2...Xn},Z = min{X1,X2...Xn},则FY(y)=FXi(x)连乘，FZ(z) = 1-(1-FXi(x))的连乘