概率论第4记：二维随机变量

通常随机实验，建立在样本空间上的随机变量不会只有一个，比如研究一个家庭的生活水平，不但观察月收入，还要观察月支出。
一般，如果X，Y是定义在样本空间S上的随机变量，那么（X，Y）称为二维随机变量（或称二维随机向量），类似可以定义n维随机变量。
定义：设二维随机变量(X,Y)所有可能的取值为(x_i,y_j),(i,j=1,2,3…)；（X，Y）取（x_i,y_j）的概率为p_ij，称
P{X=x_i,Y=y_j}=p_ij为二维随机变量(X,Y)的分布律，也称为X和Y的联合分布律。
显然p_ij>=0
$\sum_{1}^{∞}\sum_{1}^{∞}p_{ij}=1$
同理，对于连续型随机变量，有 $\iint_{-∞}^{∞}{f(x,y)dxdy}=1$
(X,Y)落在某一区域G的概率P{(X,Y)∈G}= $\iint_{G}^{}{f(x,y)dxdy}$
同理，可以定义二维连续随机变量的分布函数
F(x,y)=P{(X≦x)∩(Y≦y)}=P{X≦x,Y≦y}称作二维随机变量的分布函数
F(x,y)值描述的是二维随机变量落在下图阴影区的概率：

上面讲的是联合分布，对于二维随机变量，自然也会有X，Y各自单独的分布，称为边缘分布。
对于离散型随机变量，由于可以看作一个矩阵：如图：

Y／X	y1	y2	y3	…	yn
x1	p11	p12	p13	…	p1n
x2	p21	p22	p23	…	p2n
x3	p31	p32	p33	…	p3n
…	…	…	…	…	…
xi	pi1	pi2	pi3	…	pin
…	…	…	…	…	…
xm	pm1	pm2	pm3	…	pmn

很显然，单纯研究X＝xi时候，P{X=xi}=pi1+pi2+pi3+…+pim= $\sum_{j=1}^{m}p_{ij}$
同理推出：
P{Y=yj}=p1j+p2j+p3j+…+pnj= $\sum_{i=1}^{n}p_{ij}$
二维连续性随机变量也类似，只不过连加变成积分而已。对于P{X=xi}是对y积分，P{Y=yj}是对x积分。比如，已知（X，Y）是连续型随机二维变量，而且其概率密度函数为f(x)，求X在［a,b］区间的概率，计算公式为:
$\int_{a}^{b}[\int_{-∞}^{∞} f(x,y)dy]dx$

二维随机变量的条件分布

二维随机变量的条件分布从概率的条件分布而来，研究的是当xi或者yj已知的条件下，yj或xi的分布规律，借助概率的条件分布表达式，可以写出形如下面的二维随机变量条件分布表达式：
P{Y=y_j|X=x_i}= $\frac{P\left \{ X=x_i,Y=y_j\right \}}{P\left \{ X=x_i \right \}} \quad \quad (j=1,2,3...)$
以上公式描述为：设（X，Y）的概率密度为f(x,y)，边缘概率密度分别为f_x(x)和f_y(y)，则条件概率密度f_Y|X(y|x)= $\frac{f(x,y)}{f_{x}(x)}$，也即：f(x,y)=f_x(x)*f_Y|X(y|x)=f_y(y)*f_X|Y(x|y)
上面的公式推导原理如下：
对于离散型随机变量，我们可以计算X=x_i时候y_j的概率，但是对于连续性随机变量，无论对于x_i还是y_j，由于积分都是0（由于是某一个点，积分区间是0，所以积分也是0）不是直接套用离散型的公式，但是借助微分和极限的方法，我们可以如下求近似值：P(a≦Y≦b,x≦X≦x+ε)_ε→0= $\frac{P\left ( x\leqslant X\leqslant x+\varepsilon ,a\leqslant Y\leqslant b\right )}{P\left \{ x\leqslant X\leqslant x+\varepsilon\right \}}$=$$
公式编辑好麻烦好累啊。手写看图吧：

上图中的F称为已知X=x条件下Y的条件分布函数
我们可以推出F_Y|X(y|x)= $\int_{-\infty }^{x}{f_{Y|X} \left ( y|x \right )}d_y$
F_Y|X(y|x)=f_y|x(y|x)对于y积分