统计-二维随机变量

第三章 多维随机变量及其分布

二维随机变量

二维随机变量定义

定义

设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}。设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的两个随机变量，它们构成的向量(x,y)称为二维随机变量。

二维随机变量的分布函数定义

设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,定义二元函数
F(x,y)=P[{X≤x}∩{Y≤y}]=P{X≤x,Y≤y}
F(x,y)称为二维随机变量(x,y)的分布函数

P{x1

二维随机变量的分布函数性质

1. F(x,y)是变量x和y的不减函数，即
x1≤x2=>F(x1,y)≤F（x2,y）
y1≤y2=>F(x,y1)≤F（x,y2）
x1≤x2,y1≤y2=>F(x1,y1)≤F（x2,y2）
F(x,y)朝东北方向上升
F(x,y)朝西南方向下降
因为(x2,y2)左下方的区域较大，随机点落入该区域的概率较大。
2. 0≤F(x,y)≤1 因为概率在这个范围
F(-$\infty$,y)=$\lim_{x \to -\infty}F(x,y)=0$ 水平朝左走趋于0
F(x,-$\infty$)=$\lim_{y \to -\infty}F(x,y)=0$ 水平朝下走趋于0
F(-$\infty$,-$\infty$)=$\lim_{x \to -\infty,y \to -\infty}F(x,y)=0$ 水平朝左下走趋于0
F(+$\infty$,-+$\infty$)=$\lim_{x \to +\infty,y \to +\infty}F(x,y)=1$ 水平朝左上走趋于1
3. F(x,y)关于x和y都是右连续
F(x+0,y)=$\lim_{\delta x \to +0-}F(x+\delta x,y)=F(x,y)$
F(x,y+0)=$\lim_{\delta y \to +0+}=F(x,y+\delta y)=F(x,y)$
4.若x1

离散型二维随机变量的分布律

定义

如果二维随机变量(X，Y)所有可能的取值是有限对或者可列无限多对，则称(X，Y)是离散型二维随机变量。
设(X，Y)所有可能的取值为(xi,yi),且已知P{X=xi,Y=yi}=pij(i,j=1,2…),则称pij(i,j=1,2…)为二维随机变量(X，Y)的分布律

$$P{X=x_i,Y=y_j}=p_{ij} (i,j=1,2...)$$
可以用表格或者矩阵表示

x\y	y1 y2 y3 …
x1	p11 p12 p13 …
x2	p21 p22 p23 …
x3	p31 p32 p33 …
.	. . . …

非负性：$p_{ij}≥0$
规范性：$\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}=1$
分布函数：
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=$\sum_{x_i≤x}^{\infty}\sum_{y_j≤y}^{\infty}p_{ij}$

连续型二维随机变量

定义

如果存在非负可积二元函数f(x,y)，使得对应任意实数x,y有
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}$\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{x}f(u,v)dudv$
则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，
函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度

性质

1.非负性：F(x,y)≥0
2.规范性：$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1$
3.设G是xOy坐标面上的一个区域，则点(X,Y)落入G内的概率
P{(X,Y)∈G}$\int_\int_{G}f(x,y)dxdy$等于曲顶柱体的体积V
4.若f(x,y)在点(x,y)处连续，则在(x,y)处分布律偏导等于概率密度
$\frac{\partial^2F}{\partial x\partial y}=f(x,y)$

边缘分布

定义

分布函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}，而X和Y作为两个随机变量，各自有自己的分布函数，分别记为F_X(x)和F_Y(y):
F_X(x)=P{X≤x}
F_Y(y)=P{Y≤y}
F_X(x)和F_Y(y)分别称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数

F_X(x)=P{X≤x,Y<+$\infty$}=F(x,+$\infty$)
F_Y(y)=P{X<+$\infty$,Y≤y}=F(+$\infty$,y)

离散型二维随机变量的边缘分布

设离散型二维随机变量(X,Y)的概率分布律为

$$p_{ij}=P{X=x_i,Y=y_j} (i,j=1,2...)$$
则(X,Y)关于X和Y的边缘分布律分别是：
$P{X=x_i}=P{X=x_i,Y=y_1}+P{X=x_i,Y=y_2}+...=\sum_{j=1}^{\infty}P{X=x_i,Y=y_j}=\sum_{j=1}^{\infty}P_{ij}=p_{i·} (y任意！)$
$P{Y=y_j}=P{X=x_1,Y=y_j}+P{X=x_2,Y=y_j}+...=\sum_{i=1}^{\infty}P{X=x_i,Y=y_j}=\sum_{i=1}^{\infty}P_{ij}=p_{·j} (x任意！)$

x\y	y1 y2 y3 …
x1	p11 p12 p13 …
x2	p21 p22 p23 …
x3	p31 p32 p33 …
.	. . . …
+	P·1 P·2 P·3

它们在概率分布表边缘，所以叫边缘分布
$\sum_{j=1}^{\intfy}\sum_j=1}^{\infty}p_{ij}=1$

连续型二维随机变量边缘分布函数

X的边缘分布函数：
$F_X(x)$=P{X≤x,Y<+$\infty$}=F(x,+$\infty$)
=$\int_{-\infty}^{x}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,y)dy]du$
X是连续型随机变量
求导得其概率密度$f_X(x)=/int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$
Y的边缘分布函数：
$F_Y(y)$=P{X<+$\infty$,Y≤y}=F(+$\infty$,y)
=$\int_{-\infty}^{y}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx]du$
Y是连续型随机变量
求导得其概率密度$f_Y(y)=/int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$

条件分布

离散型随机变量的条件分布

定义

设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若$P_{·j}$=P{Y=$y_j$}>0
则称
P{X=$x_i$ |Y=$y_j$}= {P{X=$x_i$，Y=$y_j$}} \over {P{Y=$y_j$}}= {$p_{ij}$} \over {P{·j}}
为在条件Y=$y_j$下，随机变量X的条件分布律
反之同理。。。

例子

设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为

x\y	0 1 2
0	0.840 0.060 0.010
1	0.030 0.010 0.005
2	0.020 0.008 0.004
3	0.010 0.002 0.001

1.求边缘分布律
2.求在X=1的条件下，Y的条件分布律
3.求在Y=0的条件下，X的条件分布律

1.

x\y	0 1 2 $p_{i·}$=P{X=$x_i$}
0	0.840 0.060 0.010 0.091
1	0.030 0.010 0.005 0.045
2	0.020 0.008 0.004 0.032
3	0.010 0.002 0.001 0.013
$p_{·j}$=P{Y=$y_j$}	0.900 0.080 0.020 1

2.

Y=j	0 1 2
P{X=1	Y=j}

3.

X=i	0 1 2 3
P{X=i	Y=o}

连续型随机变量的条件分布

定义

设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为$f_Y$(y)。若对于固定的y，$f_Y$(y)>0,则称f(x,y)/$f_Y$(y)为在条件Y=y下，X的条件概率密度，记为
$f_{X|Y}(x|y)= {f(x,y)} \over {f_Y(y)}$
称$\int_{-\infty}^xf_{XY}(x|y)dx$为条件Y=y下，X的条件分布函数，记为
$F_{XY}(x|y)$=P{X≤x|Y=y}=$\int_{-\infty}^xf_{XY}(x|y)dx$=$1 \over { f_Y(y)} \in{-\infty}^xf(x, y)dx$
反之
Y的条件概率密度
$f_{Y|X}(y|x)= {f(x,y)} \over {f_X(x)}$
称$\int_{-\infty}^yf_{YX}(y|x)dy$为条件X=z下，Y的条件分布函数，记为
$F_{YX}(y|x)$=P{Y≤y|X=x}=$\int_{-\infty}^yf_{YX}(y|x)dy$=$1 \over { f_X(x)} \in{-\infty}^xf(x, y)dx$

例子

相互独立的随机变量

将两个事件的独立性推广到随机变量
两个事件A,B互相独立p(AB)=P(A)P（B）

设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律为
$P_{ij}$=P{X=$x_i$,Y=$y_j$}
则(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别是
$P_{i·}$=P{X=$x_i$}=$\sum_{j=1}^{\infty}P_{ij}$
$p_{·j}$=P{Y=$y_j$}=\sum_{i=1}^{\infty}P_{ij}

离散型独立性

定义

设(X,Y)是二维离散型随机变量若
P{X=$x_i$,Y=$y_j$}=P{X=$x_i$}P{Y=$y_j$}
即
$P_{ij}$=$P_{i·}p_{·j}$
则称随机变量X和Y相互独立

例子

随机变量X和Y具有联合分布律

x\y	1 2
0	1/6 1/6
1	2/6 2/6

X和Y是否相互独立？
先求边缘分布律

x\y	1 2 $P_{i·}$
0	1/6 1/6 1/3
1	2/6 2/6 2/3
$P_{·j}$	1/2 1/2

对于所有i,j均有$P_{ij}$=$P_{i·}p_{·j}$

连续型对立性

定义

设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，$F_X(x)$和$F_Y(y)$分别是(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。
若对于任意实数x和y，有
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}
即 F(x,y)=$F_X(x)$$F_Y(y)$
则称随机变量X和Y相互独立。
联合分布函数等于边缘分布之积

即X和Y相互独立当且仅当它们的联合分布函数等于关于它们的边缘分布函数的乘积。这时，$\color{red}{联合分布可由边缘分布唯一确定}$。
可以证明：对应连续型二维随机变量(X,Y)X和相互独立当且仅当
f(x,y)=$F_X(x)$$F_Y(y)$
在平面上几乎处处成立，这时，联合概率密度可由边缘概率密度唯一确定。

在条件Y=y下，X的条件概率密度
$f_{XY}(x|y)$ = ${f(x,y)} \over {f_Y(y)}$ = ${F_X(x)F_Y(y)} \over {f_Y(y)}$ =$f_X(x)$
同理，在条件X=x下，Y的条件概率密度
$f_{YX}(y|y)={f(x,y)} \over {f_X(x)}={$F_X(x)$$F_Y(y)$} \over {f_X(x)}$ =f_Y(y)
条件概率密度=边缘密度

例子

设二维随机变量(X,Y)的联合密度为

$$f(x,y)=\left\{ \begin{aligned} &(1+xy)/4, |x|<1,|y|<1 \\ &0, 其他 \end{aligned} \right.$$
问：X与Y是否相互独立

用以下等式验证独立性：
f(x,y)=fX(x)fY(y)
需求边缘概率密度
求x的边缘概率密度
当|x|>1时，f(x,y)=0
$f_X(x)$=0
当|x|≤1时，x在-1到1之间
$f_X(x)$=$\int_{-1}^1 {1+xy} \over {4}dy$=$1 \over 4(\int_-1^1dy+\int_{-1}^1 xydy)$=$1 \over 4$(1-(-1) + $1 \over 2$ - $1 \over 2)$=$1 \over 2$
$\int_x^ydy$=$y^2 \over 2$
得
$f_X(x)$=1/2 |x|≤1
类似得y的边缘概率密度
$f_Y(y)$=1/2 |x|≤1
当 |x|<1,|y|<1时
f(x,y)=fX(x)fY(y)=1/2 × 1/2 = 1/4≠ 。(1+xy)/4
所以不相互独立

二维正态分布

两个随机变量的函数的分布