【考研数学】概率论与数理统计 —— 第二章 | 一维随机变量及其分布（2，常见随机变量及其分布 | 随机变量函数的分布）

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引言

承接前文，我们继续学习第二章，一维随机变量及其分布的第二部分内容。

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三、常见的随机变量及其分布

3.1 常见的离散型随机变量及其分布律

（一）（0-1）分布

设随机变量 $X$ 的可能取值为 0 或 1 ，且其概率为 $P$ { $X=1$ } $=p,$ $P$ { $X=0$ } $=1-p(0<p<1$ ，称 $X$ 服从（0-1）分布，记为 $X\sim B(1,p).$

（二）二项分布

设随机变量 $X$ 的分布律为 $P$ { $X=k$ } $=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ ，其中 $k=0,1,2,\dots ,n,0<p<1,$ 称随机变量 $X$ 服从二项分布，记为 $X\sim B(n,p).$

回忆一下第一章的伯努利概型，也是二项分布。

（三）泊松分布

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 P { X = k } = λ k k ! e − λ , P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, P{ X=k}=k!λk​e−λ, 其中，$\lambda >0,k=0,1,2,\dots ,n,$ 称随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X\sim P(\lambda ).$

（四）几何分布

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 P { X = k } = p ( 1 − p ) k − 1 , P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}, P{ X=k}=p(1−p)k−1, 其中，$k=1,2,\dots ,n,$ 称随机变量 $X$ 服从几何分布，记为 $X\sim G(p).$

服从几何分布的随机变量 $X$ 可以这么理解：设伯努利试验中只有两种结果 $A,\overline{A},P(A)=p$ ，则 $X$ 表示伯努利试验中 $A$ 首次发生时的试验次数。
比如， $X=2$ ，表示试验做了两次才第一次发生，也就是第一次试验没发生，第二次试验发生；$X=n$ ，表示前 $n-1$ 次试验没发生，第 $n$ 次试验发生。这样就好理解了，公式也一下就记得住。

（五）超几何分布

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 P { X = k } = C M k ⋅ C N − M n − k C N n , P\{X=k\}=\frac{C_M^k \cdot C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}, P{ X=k}=CNn​CMk​⋅CN−Mn−k​​, 其中，$M,N,k,n$ 为自然数，且 M ≤ N , m a x { N − M , 0 } ≤ k ≤ m i n { M , n } , n ≤ N M \leq N,max\{N-M,0\} \leq k \leq min\{M,n\},n \leq N M≤N,max{ N−M,0}≤k≤min{ M,n},n≤N ， 称随机变量 $X$ 服从超几何分布，记为 $X\sim H(n,M,N).$

3.2 常见的连续型随机变量及其概率密度

（一）均匀分布

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a\le x\le b\\ 0,& else\end{array},$$ 称随机变量 $X$ 在区间 $(a,b)$ 内服从均匀分布，记为 $X\sim U(a,b).$

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若随机变量 $X\sim U(a,b)$，则其分布函数为 $$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<a\\ \frac{x-a}{b-a},& a\le x\le b\\ 1,& x\ge b\end{array}$$

（二）指数分布

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}(\lambda >0)$$ 称随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，记为 $X\sim E(\lambda ).$

若随机变量 $X\sim E(\lambda )$，则其分布函数为 $$F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$$

（三）正态分布

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}(-\infty <x<+\infty ),$$ 称随机变量 $X$ 服从正态分布，记为 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其概率密度函数如下图所示：

特别地，若 $\mu =0,\sigma =1$ ，称随机变量 $X$ 服从标准正态分布，记为 $X\sim N(0,1)$ ，其概率密度为 $$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}(-\infty <x<+\infty ),$$ 其概率密度函数如下图所示：

分布函数为 $$\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\phi (t)dt.$$ 正态分布具有如下性质：

（1）若 $X\sim N(0,1)$ ，则其概率密度函数 $\phi (x)$ 为偶函数，且 P { X ≤ 0 } = Φ ( 0 ) = 0.5 , P\{X \leq 0 \}=\varPhi(0)=0.5, P{ X≤0}=Φ(0)=0.5, P { X ≤ − a } = Φ ( − a ) = P { X > a } = 1 − Φ ( a ) . P\{X \leq-a\}=\varPhi(-a)=P\{X > a\}=1-\varPhi(a). P{ X≤−a}=Φ(−a)=P{ X>a}=1−Φ(a). （2）若随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则 P { X ≤ μ } = P { X > μ } = 0.5 , P\{X \leq \mu\}=P\{X > \mu\}=0.5, P{ X≤μ}=P{ X>μ}=0.5, 即正态分布的密度函数的图像关于 $x=\mu$ 对称。

（3）若随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则 $\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1).$

（4）若随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ ，则 P { a < X ≤ b } = F ( b ) − F ( a ) = Φ ( b − μ σ ) − Φ ( a − μ σ ) . P\{a < X \leq b\}=F(b)-F(a)=\varPhi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\varPhi(\frac{a-\mu}{\sigma}). P{ a<X≤b}=F(b)−F(a)=Φ(σb−μ​)−Φ(σa−μ​). （5）$$\Phi (a)+\Phi (b)=\{\begin{array}{ll}<1,& a+b<0\\ =1,& a+b=0\\ >1,& a+b>0\end{array}$$

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四、随机变量函数的分布

设 $X$ 为随机变量，其分布已知，称 $Y=\phi (X)$ 为随机变量 $X$ 的函数，研究随机变量 $Y$ 的分布及随机变量函数的分布。

（一）离散型随机变量函数的分布

设 $X$ 为随机变量，$Y=\phi (X)$ ，只要根据 $X$ 的可能取值及概率求出 $Y$ 的可能取值及概率，即可得到 $Y$ 的分布律。

（二）连续型随机变量函数的分布

设 $X$ 为连续型随机变量，其概率密度为 $f(x)$ ，又 $Y=\phi (x)$ ，求随机变量 $Y$ 的分布时，先求 $Y$ 的分布函数 P { Y ≤ y } = P { φ ( X ) ≤ y } , P\{Y \leq y\}=P\{\varphi(X) \leq y\}, P{ Y≤y}=P{ φ(X)≤y}, 再通过 $X$ 的分布求出 $Y$ 的分布。