组合基础2 第一类斯特林数 第二类斯特林数

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记 $x^{\overline{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)$， $x^{\underline{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)$。

第一类斯特林数

定义为 $x^{\overline{n}}$的 $m$次项系数，即 $x^{\overline{n}}=\sum_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i$。组合意义为将 $n$个数分为 $m$个环的方案数。

可在 $O(n\log n)$内求 $\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}$。

第二类斯特林数

组合意义为将 $n$个数分为 $m$个无区别组的方案数。定义为 $x^n=\sum_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\underline{i}}$。

可以用容斥原理求斯特林数，枚举几个组为空即可。公式为 $\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^i\binom{m}{i}(m-i)^n$

幂的转换

由各种方法可得：
$x^n=\sum_{i=0}^n\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}x^{\overline{i}}(-1)^{n-i}$
$x^{\underline{n}}=\sum_{i=0}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}x^i(-1)^{n-i}$
以上两个定义式和两个幂的转换公式可简记为正降卷升，一归二歧（“正”指挨个乘）。

把两个式子拼起来可得斯特林反演。把一个式子带到另一个里去可得翻转公式。

练习题

幂和

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n i^k &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^k \begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}i^{\underline j}\\ &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}\sum_{i=1}^ni^{\underline j}\\ &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!\sum_{i=1}^n{i\choose j}\\ &=\sum_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}j!{n+1\choose j+1}\\ \end{aligned}$

*2018.12