第二类斯特林数相关

第二类斯特林数

将 $n$ 个不同的球放到 $r$ 个相同的盒子里，没有空盒。放球的方案数为 $S (n, r)$ 或 $\begin{Bmatrix}n\\r\end{Bmatrix}$ ，称为第二类斯特林数。

$\geq 1$

考虑最后一个球怎么放。

单独放入一个没有球的盒子中，记为 $S (n - 1, r - 1)$ 。
放入之前已经有球的盒子中，没有新开盒子，所以之前有 $r$ 个盒子可以放，记为 $r S (n - 1, r)$ 。

综上所述，伪证完毕。

$\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} =\frac{1}{k !} \sum_{i=0}^{k}(-1)^{i}{k \choose i}(k-i)^{n}$

上式为第二类斯特林直接求的公式。这个式子长的比较像容斥。那么用组合与容斥推一下这个式子

$\times \begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} = \sum_{i=0}^{k}(-1)^{i}{k \choose i}(k-i)^{n}$

在把 $k!$ 乘过去后，右式的盒子之间是相互区分的了。因为盒子非空，所以这个条件可以拿来容斥。那么用 $k$ 来枚举空盒子的个数，那么 $1)^{i}$ 是容斥系数， $\choose i}$ 是在枚举哪些盒子是空的。那么现在有 $k - i$ 的盒子可以放球，根据乘法原理为 $k-i)^{n}$ 。

性质

$x^{n}=\sum_{k=0}^{n} \begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} x^{\underline{k}}$

其中

$x^{\underline{k}}$ 为 $x$ 的 $k$ 次下降幂，有

$x^{\underline{k}} = \frac{x!}{(x-k)!} = { {x \choose k} \times P_k}$

那么之前的式子可以写成

$x^{n}=\sum_{k=0}^{n} \begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix} \times { {x \choose k} \times P_k}$

考虑用组合数来推。 $x^n$ 相当于将 $x$ 个球放入 $n$ 个不同的盒子中的方案数。可以发现如果盒子比球多的话，会产生空盒子。那么枚举非空盒子的个数，再从 $x$ 个盒子中把非空盒子选出来。那么组合数是无序的，所以乘上 $P_k$ 让它有序。那么现在知道了哪些盒子要放球，就直接上斯特林数即可。

例题

关于下降幂，有一个性质

$\choose i} i^{\underline{j}}={n-j \choose i-j} n^{\underline{j}}$

略证

$\choose i} i^{\underline{j}} = \frac{n!}{i!(n-i)!} \times \frac{i!}{(i-j)!} = \frac{n!}{(n-i)!(i-j)!} \\ = {n-j \choose i-j} n^{\underline{j}} = \frac{(n-j)!}{(i-j)!(n-i)!} \times \frac{n!}{(n-j)!} = \frac{n!}{(n-i)!(i-j)!}$

斯特拉反演

咕