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1.我们知道
nk
可以用第二类斯特林数拆成:
∑ki=1{ki}∗i!∗(ni)
2.组合数的一个性质:
∑nj=1(ji)=(n+1i+1)
证明:
(i+1n+1)=(in)+(i+1n)
=(in)+(in−1)+(i+1n−1)
…
发现一直展开就是前面的sigma。
自然数幂和:
∑ni=1ik
=∑ni=1∑kj=1{kj}∗j!∗(ij)
=∑kj=1{kj}∗j!∗∑ni=1(ij)
=∑kj=1{kj}∗j!∗(n+1j+1)
=∑kj=1{kj}(n+1)j+1––––j+1
(n+1)j+1––––
中一定有一个数是
(j+1)
的倍数,因此这个方法没有用到模意义下除法。