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题目:
求满足以下条件的排列数:
刚好存在a个数,满足
刚好存在b个数,满足
分析:
显然,a个数必然是最大值以及最大值左边。
b个数必然是最大值以及最大值的右边。
所以可以定义
表示i个数,其中j个数比它所在的位置之前的任何一个数都大。
答案就是
其实就是枚举最大值的位置。
然后考虑其组合意义,可以看做:在最大值之前,将i-1个数放入a-1个圆排列中,最大值之后,将n-i个数放入b-1个圆排列中。
那么可以换一种组合意义:把n-1个元素(去掉了最大值),放入a+b-2个圆排列中,其中a-1个放前面,b-1个放后面的方案数。
所以答案就是
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 800010
#define MOD 998244353
using namespace std;
const int G=3;
int tmp[MAXN];
int fsp(int x,int y){
int res=1;
while(y){
if(y&1)
res=1ll*res*x%MOD;
x=1ll*x*x%MOD;
y>>=1;
}
return res;
}
int W1[31],W2[31];
void NTT(int A[],int N,int flag){
for(int i=1,j=0;i<N;i++){
for(int d=N;j^=d>>=1,~j&d;);
if(i<j)
swap(A[i],A[j]);
}
for(int i=1,id=0;i<N;i<<=1,id++){
int wn;
if(flag==0) wn=W1[id];
else wn=W2[id];
for(int j=0;j<N;j+=(i<<1)){
int w=1;
for(int k=0;k<i;k++,w=1ll*w*wn%MOD){
int x=A[j+k],y=1ll*w*A[i+j+k]%MOD;
A[j+k]=(x+y)%MOD;
A[i+j+k]=(x-y+MOD)%MOD;
}
}
}
if(flag)
for(int i=0,invN=fsp(N,MOD-2);i<N;i++) A[i]=1ll*A[i]*invN%MOD;
}
void mul(int A[],int B[],int N,int M,int res[]){
static int A1[MAXN],B1[MAXN];
for(int i=0;i<N;i++) A1[i]=A[i];
for(int i=0;i<M;i++) B1[i]=B[i];
int p=1;
while(p<=N+M)
p<<=1;
NTT(A1,p,0);
NTT(B1,p,0);
for(int i=0;i<p;i++)
A1[i]=1ll*A1[i]*B1[i]%MOD;
NTT(A1,p,1);
for(int i=0;i<N+M;i++)
res[i]=A1[i];
for(int i=0;i<p;i++) A1[i]=B1[i]=0;
}
int fac[MAXN],ifac[MAXN];
void calc(int n,int f[]){
if(n==1){
f[1]=1;
return ;
}
int mid=(n>>1);
calc(mid,f);
static int tmp[MAXN],g[MAXN];
for(int i=0;i<=mid;i++)
g[i]=1ll*f[i]*fac[i]%MOD;
for(int i=mid+1;i<=n;i++)
g[i]=0;
int n1=1;
for(int i=0;i<=mid;i++,n1=1ll*n1*mid%MOD)
tmp[i]=1ll*n1*ifac[i]%MOD;
reverse(tmp,tmp+mid+1);
mul(g,tmp,mid+1,mid+1,g);
for(int i=0;i<=2*mid+1;i++)
g[i]=g[i+mid];
for(int i=0;i<=mid;i++)
g[i]=1ll*g[i]*ifac[i]%MOD;
mul(f,g,mid+1,mid+1,f);
if(n&1){
f[n]=0;
for(int i=n;i>=0;i--)
f[i]=(1ll*f[i]*(n-1)%MOD+f[i-1])%MOD;
}
}
void init(){
for(int i=0;i<22;i++){
W1[i]=fsp(G,(MOD-1)/(1<<(i+1)));
W2[i]=fsp(W1[i],MOD-2);
}
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=200000;i++)
fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD;
ifac[200000]=fsp(fac[200000],MOD-2);
for(int i=200000;i>=1;i--)
ifac[i-1]=1ll*ifac[i]*i%MOD;
}
int res[MAXN],n,a,b;
int C(int x,int y){
return 1ll*fac[x]*ifac[y]%MOD*ifac[x-y]%MOD;
}
int main(){
init();
SF("%d%d%d",&n,&a,&b);
if(n==1){
if(a==1&&b==1)
PF("1");
else
PF("0");
return 0;
}
calc(n-1,res);
PF("%lld\n",1ll*res[a+b-2]*C(a+b-2,a-1)%MOD);
}