第一类&第二类斯特林数学习笔记

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第一类斯特林数

$p$个不同人围着 $m$个不同圆桌坐，要求每桌非空，方案数即为 $S(p,k)$

递推

边界
$S(p,p)=1(p>=0),S(p,0)=0(p>=1)$
分类讨论一下…
新加入的人可以新开一张桌子，前面的方案即为 $S(p-1,k-1)$
也可以和之前的人坐，先把前面的人安排好了的方案数是 $S(p-1,k)$，我们让这个人任选一个人，坐在他的左边，方案数即为 $(p-1)*S(p-1,k)$
综上，转移即为
$S(p,k)=S(p-1,k-1)+(p-1)*S(p-1,k)$
复杂度 $O(n^2)$

性质

第一类斯特林数 $S(n,m)$其实可以表示为 $x$的 $n$次上升幂的第 $m$项系数
即
$x^{n \uparrow} = x(x + 1)(x + 2) \cdots (x + n - 1) =\sum_{i = 0}^n s(n, k) x^k$
可以分治NTT或FFT求出，复杂度 $O(nlogn^2)$

第二类斯特林数

$n$个不同球放入 $m$个相同盒子的方案数即为 $S(n,m)$

递推

仍然分类讨论
新加入的球可以新开一个盒子，即为 $S(n-1,m-1)$
或者在之前任选一个盒子放入，即为 $m*S(n-1,m-1)$
综上所述，有
$S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m-1)$
复杂度 $O(n^2)$

容斥原理

我们可以枚举至少有多少个盒子是空的，剩下的盒子随便放
那么有
$S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^{m}(-1)^kC_m^k(m-k)^n$
再推一下会有
$=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^{m}(-1)^k\frac{m!}{k!(m-k)!}(m-k)^n$
$=\sum_{k=0}^m\frac{(-1)^k}{k!}*\frac{(m-k)^n}{(m-k)!}$
容易发现，这是一个卷积形式，组合数和次幂都可以预处理
于是可以通过FFT或者NTT求出 $S(n,0),S(n,1)...$
复杂度 $O(nlogn)$

性质

$n^k=\sum_{i=0}^{min(n,k)}S(k,i)*i!*C_n^i$
等式左边即为 $k$个不同小球放入 $n$个不同盒子的方案数
我们可以通过枚举放入了多少个盒子，即为 $S(k,i)*i!$，由于第二类斯特林数中盒子是相同的所以我们需要乘一个 $i!$
再在 $n$个盒子中选出 $i$个可知等式合法