【组合数学】第一类，第二类斯特林数（Stirling），Bell数

第一类斯特林数

定理：

第一类斯特林数S1（p，k）计数的是把p个对象排成k个非空循环排列的方法数。

证明：把上述定理叙述中的循环排列叫做圆圈

递推公式：

S1（p，p）=1（p>=0)，有p个人和P个圆圈，每个圆圈就只有一个人

S1（P，0）=0（P>=1)如果至少有1个人，那么任何安排都至少包含一个圆圈

S1（P，K）=（P-1）*S1（P-1，K）+S1（P-1，K-1）

设P个人的编号为1，2，3，4.....P，将P个人排成k个圆圈有两种情况：

1.在一个圆圈里只有编号为P的人，排法有S1（P-1，K-1）个。

2.P至少和另外一个人在一个圆圈里。这些排法可以通过把1，2.....p-1排成k个圆圈，再把p放在1，2........p-1任意一个人的左边，因此，第二种类型的排法有（p-1）*S1（p-1，k）种做法

在证明中，我们所作的就是把{1，2，3，4.......P}划分到K个非空且不可区分的盒子，然后每个盒子中的元素排成一个循环排列

long long s1[maxn][maxn];//存放第一类Stirling数
long long mod=1e9+7;//取模
void init()
{
    s1[1][1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
        for(int j=1;j<maxn;j++)
        s1[i][j]=(s1[i-1][j-1]+(i-1)*s1[i-1][j])%mod;
}

第二类斯特林数

定理：

第二类Stirling数S2（P，K）计数表示把P元素划分到k个不可区分的盒子里且没有空盒子的划分个数

证明：

S2（P，P）=1（P>=0)           

S2(P，0)=0 (p>=1)                   

递推公式：S2(p,k)=k*S2(p-1,k)+S2(p-1,k-1)  (1<=k<=p-1)

把{1，2，3，4......p}分到k个非空且不可区分的盒子里的划分有两种情况：

1.P单独在一个集合，存在S2（p-1，k-1）种划分个数

2.p不单独在一个盒子的划分，p和其他元素在一个集合，也就是在没有放P之前，有p-1个元素已经分到了K个非空且不可区分的盒子里，现在把P放进去，有K种选择，存在K*S2（p-1，k）种划分

long long s2[maxn][maxn];//存放第二类Stirling数
long long mod=1e9+7;//取模
void init()
{
    s2[1][1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++)
        for(int j=1;j<maxn;j++)
        s2[i][j]=(s2[i-1][j-1]+j*s2[i-1][j])%mod;
}

扩展：K！* S(P,K)计数就是把P元素集合划分到K个可区分的盒子里，且没有空盒子的划分个数

Bell数

定理：B(P)是将P元素集合分到非空，且不可区分盒子的划分个数（没有要求分到几个盒子里）

B(p)=S2(P,0)+S2(P,1)+S2(P,2)+S2(P,3)+S2(P,4)+........S2(P,n);

即先求出第二类斯特林数，然后求和即可