[学习笔记]浅析 第二类斯特林（Stirling）数 的妙用

一、概念及递推

第二类斯特林数：把 $n$ 个元素分成 $m$ 个非空无序集合的方案数，记作

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}$$
递推式：考察第 $n$ 个元素是否单独属于一个集合。
如果单独属于一个集合，那么剩下的 $n-1$ 个元素有 $\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}$ 中划分方法。
如果不单独属于一个集合，那么剩下的 $n-1$ 个元素有 $\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}$ 种划分方法，第 $n$ 个元素可以插入这 $m$ 个集合中的任一。
所以得出第二类斯特林数的递推式：
$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+m\times\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}$$
边界 $\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}=1$ 。

二、通项公式

可以用容斥的方法求第二类斯特林数。
先考虑无序转有序，设 $T(n,m)$ 表示把 $n$ 个元素划分成 $m$ 个非空有序集合的方案数。
注意这里「有序」的概念：集合的顺序有序，而集合内的元素无序。
如 $\{1,3\}\{2,4,5\}$ 和 $\{3,1\}\{5,4,2\}$ 是同一种方案，
而 $\{1,3\}\{2,4,5\}$ 和 $\{2,4,5\}\{1,3\}$ 不是同一方案。
这时候有：

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{T(n,m)}{m!}$$
还是不 太好求，考虑能否去掉「非空」这个条件。
如果不要求「非空」，那么可以把问题成对于每个元素，都为这个元素选取一个它所属的集合。方案数为：
$$m^n$$
再加上「非空」这一条件，可以考虑容斥，枚举 $\{1,2,...,m\}$ 的一个子集 $S$ ，强制 $S$ 内所有元素对应的集合全部为空。根据容斥原理，
$$T(n,m)=\sum_{S\subset\{1,2,...m\}}(-1)^{|S|}\times (m-|S|)^n$$
利用上组合数，把枚举 $S$ 改为枚举 $|S|$ ：
$$T(n,m)=\sum_{i=0}^m(-1)^i\times (m-i)^n\times\binom m i$$
故
$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac 1{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^i\times (m-i)^n\times\binom m i$$

三、形如 $n^m$ 的式子的分解

先给出公式：

$$n^m=\sum_{i=0}^{\infty}\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}\times\binom n i\times i!$$
可以从组合数学的角度分析。
首先， $\begin{Bmatrix}m\\i\end{Bmatrix}\times i!=T(m,i)$ ：
$$n^m=\sum_{i=0}^{\infty}T(m,i)\times\binom n i$$
这就是在 $n$ 个集合中选出一些集合，用 $m$ 个元素填充选出的集合， 使得被选出的集合不得为空。换一种想法，是在 $n$ 个集合中，先指定一部分集合必须为空，剩下的集合必须非空，并用 $m$ 个元素填充 指定非空的集合。
进一步进行转化——用 $m$ 个元素填充 $n$ 个集合， 集合空或非空都行的方案数。
因此方案数为 $n^m$ ！

四、应用

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的 DAG 和参数 $k$ ， 定义一条经过 $l$ 条边的路径的权值为 $l^k$ 。 对于 $1\le i\le n$ ， 求出所有 $1$ 到 $i$ 的路径的权值之和，对 $998244353$ 取模。 $1\le n\le 10^5$ 。 $1\le m\le 2\times 10^5$ 。 $0\le k\le 500$ 。
显然拓扑排序，但直接求解有些困难，不妨转化下 $l^k$ ：

$$l^k=\sum_{i=0}^k\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\times\binom l i\times i!$$
看到 $0\le k\le 500$ 的范围，将每个 $i$ 分开考虑。
定义 $f[u][i]$ 表示从 $1$ 到 $u$ 的所有路径的 $\binom{路径长度}i$ 之和。
根据组合数的递推公式，可以得出转移：对于一条边 $<u,v>$ ，
$$f[v][i]+=f[u][i]+f[u][i-1]$$
$1$ 到 $u$ 的路径权值和就是：
$$\sum_{i=0}^k\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}\times i!\times f[u][i]$$

五、In A Word

第二类斯特林数的妙用就是转换形如 $n^m$ 的式子。