自然数幂和
写在前面
- 本文中提到的斯特林数和S都指代第二类斯特林数
- \(S_{k,j}\)表示把k个有区别的球放入j个无区别的盒子的方案数 [不存在空盒]
推导
对于一个\(i^k\)
可以具体理解为有 \(i\) 个不同的盒子，把 \(k\) 个不同的球放入盒子中的方案数。[允许空盒]
现在把允许空盒 转化成 求所有盒子都至少放入一个球的方案数
首先枚举放了至少一个球的盒子个数，设为$ j$
那么对于存在j个空盒的方案就为 \(S_{k,j}*C_{i,j}*j!\)
对于一个 \(i^k\) ,可以表示为 \[ \sum \limits _{j=1}^{i} S_{k,j}*C_{i,j}*j! \]
然后就可以表示出 \(\sum \limits ^{n}_{i=0} i^k\) 的方案：\[ \sum \limits _{i=0}^{n}\sum\limits _{j=1}^{i} S_{k,j}*C_{i,j}*j! \]
然后讨论 \(S_{k,j}\)的系数和： \(\sum \limits ^{n}_{i=0} C_{i,j} *j!\) ，即 \(j!* \sum\limits^{n}_{i=0} C_{i,j}\)
已知： \(\sum \limits_{i=0}^{n}C_{i,j}=C_{n+1,j+1}\)
所以 \(S_{j,k}\)的系数为 \(j!*C_{n+1,j+1}\)
那么就可以知道 \(\sum \limits ^{n}_{i=0} i^k= \sum\limits_{j=1}^{n}S_{k,j}*j!*C_{n+1,j+1}\)
然后预处理斯特林数和组合数就可以解决了.
\(By\) \(Zerokei\)